Ein einfaches Modell mit emergenter Symmetrie?

In einer früheren Frage Emergente Symmetrien, die ich gestellt habe, sagte Prof. Luboš Motl, dass emergente Symmetrien niemals exakt sind . Aber ich frage mich, ob das folgende Beispiel ein Gegenbeispiel ist, das eine exakte emergente Spin-Rotationssymmetrie hat.

Betrachten Sie einfach das einfachste Ising-Modell für zwei Spin-1/2-Systeme H = σ 1 z σ 2 z , hat es zwei Grundzustände, einer davon ist Spin-Singulett | ↑↓> − | ↓↑> die Spin-Rotationssymmetrie besitzt, während der ursprüngliche Hamilton-Operator diese explizit bricht.

Und ich möchte wissen, ob jemand einige einfache Beispiele kennt, dass alle Grundzustände die emergente Symmetrie haben, während der Hamilton-Operator keine hat?

Übrigens, ich erinnere mich, dass Prof. Xiao-gang Wen gesagt hat, ein wesentlicher Unterschied zwischen „ topologischer Entartung “ und „gewöhnlicher Entartung“ sei, dass die topologische Entartung im Allgemeinen ungefähr ist, während die gewöhnliche Entartung exakt ist. Wenn die emergenten Symmetrien im Allgemeinen ungefähr sind, gibt es dann irgendwelche Verbindungen zwischen der topologischen Entartung und den emergenten Symmetrien?

Bemerkungen : Die beiden Grundzustände des obigen Ising-Beispiels sind entartet. Ich frage mich, ob eine emergente Symmetrie für einen nicht entarteten Eigenzustand auftreten könnte? Wenn beispielsweise ein Eigenzustand eines Hamilton-Operators nicht entartet ist, muss dieser Eigenzustand alle Symmetrien des Hamilton-Operators bewahren, und besteht die Möglichkeit, dass dieser Eigenzustand eine zusätzliche Symmetrie aufweist, die im Hamilton-Operator fehlt? Kennt jemand ein Beispiel dieser Art?

Vielen Dank im Voraus.

Wie wäre es mit diesem: H = S 1 z S 2 z + 1 4 ( S 1 z + S 2 z ) . Der zweite Term bricht die Entartung der angeregten Zustände in Ihrem Modell. Der Betreiber S 1 + S 2 + + S 1 − S 2 − pendelt nicht mit dem Hamiltonoperator, aber die beiden Grundzustände sind seine Eigenzustände. Meine Logik besteht darin, einen Symmetrieoperator zu konstruieren, der nur im Unterraum der Grundzustände mit dem Hamiltonoperator pendelt.
Ich denke an die eindimensionale antiferromagnetische Haldane-Kette (mit offener Randbedingung). Der Grundzustand ist nur im thermodynamischen Grenzfall 4-fach entartet. Das bedeutet, dass die Energiedifferenz zwischen einem Zustand mit Gesamtspin 0 und einem Zustand mit Gesamtspin 1 im thermodynamischen Limit Null wird. Ich frage mich, wie ich es aus Symmetriesicht bekomme.
@Tengen: Die Grundzustände in Ihrem Modell sind die gleichen wie meine, ich frage mich, ob es einfache Modelle gibt, deren Grundzustände alle emergente Symmetrien haben.
Mein Modell ist ein Beispiel. Der Grundzustandsunterraum wird aufgespannt von | ↑↓ ⟩ Und | ↓↑ ⟩ . Sie alle haben die Symmetrie, wie ich sie oben definiert habe. Aber nur ein eindimensionaler Unterraum, der von aufgespannt wird | ↑↓ ⟩ − | ↓↑ ⟩ hat Spinrotationssymmetrie.
@Tengen: Oh, ich habe jetzt verstanden, was du meinst. Sie haben Recht, die beiden Grundzustände sind definitiv Eigenzustände des von Ihnen definierten Symmetrieoperators, aber mit Eigenwerten Nullen , was bedeutet, dass die Grundzustände verschwinden würden, sobald der Symmetrieoperator auf sie einwirkt. In diesem Fall können wir also immer noch sagen, dass die Grundzustände sind unter der von Ihnen definierten Operation symmetrisch?
@Tengen：Was noch wichtiger ist, ich denke, der von Ihnen definierte "Symmetrie" -Operator stellt tatsächlich keine Symmetrie dar, da er nicht einmal invers sein kann, was bedeutet, dass er kein unitärer oder antiunitärer Operator sein kann. Und seine physikalische Bedeutung ist unklar.
@Tengen: Vielleicht habe ich deine Erklärung falsch verstanden. Sei A der von dir definierte Operator, dann kann exp(i A ) ein Symmetrieoperator sein, meinst du das? Wenn ja, was ist dann die physikalische Bedeutung davon?
Wir sagen, ein Unterraum hat eine Symmetrie, wenn er eine Darstellung der Symmetriegruppe unterstützt. Wir sprechen hier nur über den Generator der Symmetrietransformation, nicht über die Gruppe selbst. Ein Null-Eigenwert ist kein Problem (Sie können dem Symmetrieoperator eine beliebige Zahl ungleich Null hinzufügen, wenn Sie möchten). Denken Sie an die Rotationssymmetrie des Spins: Der Gesamtspin kann auch Null sein.
Ja, du hast recht. Vielleicht keine physikalische Bedeutung. Ich habe es nur gebaut, um Ihre Anforderung zu erfüllen.
@Tengen: Ja, ich stimme dir jetzt zu, ich habe ein Missverständnis gemacht. Kennst du die physikalische Bedeutung davon?
@Tengen: Ok, ich verstehe, du gibst uns wirklich ein Beispiel dafür, was ich will, obwohl seine physikalische Bedeutung vorübergehend unklar ist. Trotzdem danke.
Sie können ganz einfach so viele bauen, wie Sie möchten. Wie ich bereits sagte, brauchen Sie nur einen Symmetrieoperator zu konstruieren, der nur im Unterraum der Grundzustände mit dem Hamiltonoperator kommutiert.
@Tengen: Ja, das stimmt
@Tengen: Über die von dir erwähnte Haldane-Kette wusste ich nicht viel darüber. Aber ich möchte wissen, wenn Sie periodische Randbedingungen nehmen, sind die Grundzustände für endliche Gitterplätze genau entartet? Was verursacht die Grundzustandsentartung in der Haldane-Kette, Topologie oder Symmetrie des Systems? Wenn es die Topologie ist, ob diese topologischen Grundzustände durch einige Symmetrien geschützt sind?
Der Grundzustand ist nicht entartet, wenn man eine periodische Randbedingung annimmt. Es ist ein Beispiel für einen symmetriegeschützten topologischen Zustand. Die Symmetrie ist die Spinrotationssymmetrie SO(3) für integralen Spin.

Antworten (2)

Das einfachste Modell ist die Spin-1/2-Kette mit Majumdar-Ghosh -Wechselwirkung:

H = ∑ ich P 3 / 2 ( ich − 1 , ich , ich + 1 ) ,
Wo P 3 / 2 ( ich , J , k ) ist der Projektionsoperator, der einen Zustand mit totalem Spin-3/2 auf Orte auf den Unterraum projiziert ich , J , k . Die Grundzustände sind zwei Dimerzustände (siehe Abbildung zum Majumdar-Ghosh-Modell auf Wikipedia ):
| ψ 1 ⟩ = ∏ ich | S ich N G l e T ⟩ 2 ich , 2 ich + 1 ,
| ψ 2 ⟩ = ∏ ich | S ich N G l e T ⟩ 2 ich − 1 , 2 ich .

Wenn wir die Symmetrietransformation definieren U ( ich , J ) = exp ⁡ ( ich A ich J P 0 ( ich , J ) ) Wo P 0 ( ich , J ) ist dann der Singulett-Projektionsoperator

U ( 2 ich , 2 ich + 1 ) | ψ 1 ⟩ = exp ⁡ ( ich A 2 ich , 2 ich + 1 ) | ψ 1 ⟩ ,
U ( 2 ich − 1 , 2 ich ) | ψ 2 ⟩ = exp ⁡ ( ich A 2 ich − 1 , 2 ich ) | ψ 2 ⟩ ,
für alle ich . Mit anderen Worten, | ψ 1 ⟩ unterstützt eine eindimensionale Darstellung der Gruppe U ( 2 ich , 2 ich + 1 ) (beliebig ich ), was keine Symmetrie des ursprünglichen Hamilton-Operators ist. Ähnlich für | ψ 2 ⟩ . Es sind genau diese emergenten Symmetrien, die dieses Modell löslich machen.

Anspruchsvollere Beispiele finden Sie hier: 0207106 .

Vielen Dank für Ihre Antwort. Aber ich kann Ihre Erklärung nicht klar verstehen, weil mir Ihre Sprache etwas schwer erscheint. Meinen Sie, dass die beiden Dimer-Grundzustände des MG-Modells beide die gleiche Symmetrie haben? U ( ich , J ) während der Hamiltonian H hat nicht?
Ich habe die Antwort geändert, bitte schauen Sie nach.
OK. Wie sieht es mit der Überlagerung der beiden Dimerzustände aus? Ob zum Beispiel der Grundzustand ψ = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ist immer noch ein Eigenzustand von U ( ich , J ) ? Vielen Dank.
Und Ihr letzter Satz " Es sind genau diese emergenten Symmetrien, die dieses Modell löslich machen " gefällt mir sehr gut, da dies vielleicht einer der Tatsachen ist, die emergente Symmetrien in der Physik wichtig machen würden.
Nö. Es gibt N U ( 1 ) Gruppen: U ( ich , ich + 1 ) , ich = 1 , 2 , . . . , N . | ψ 1 ⟩ ist unveränderlich unter den Aktionen der Hälfte ihrer Gruppen, und | ψ 2 ⟩ die andere Hälfte.

Ich denke, das einfachste Beispiel ist sehr eng mit Ihrem Vorschlag des Ising-Modells mit zwei Standorten verbunden. Betrachten Sie stattdessen die XX-Kette mit zwei Standorten:

H = σ 1 X σ 2 X + σ 1 j σ 2 j .
Der Hamiltonian hat das eindeutig U ( 1 ) Symmetrie (erzeugt durch σ 1 z + σ 2 z ) aber es muss NICHT voll sein S U ( 2 ) Symmetrie. Sein (einzigartiger!) Grundzustand ist jedoch das Spinsingulett
| ψ gs ⟩ = 1 2 ( | ↑ 1 ↓ 2 ⟩ − | ↓ 1 ↑ 2 ⟩ ) .
Daher hat sein einzigartiger Grundzustand eine Emergenz S U ( 2 ) Symmetrie.

Grosses Dankeschön.
Hier vielleicht andere einfache Beispiele. Betrachten Sie einen Gitter-Fermion-Hamiltonoperator H = ∑ ich μ ich N ^ ich , wobei die ortsabhängige μ ich > 0 für jede Seite. Dann sein einzigartiger Grundzustand (der Vakuumzustand) | 0 ⟩ hat eine emergente Translationssymmetrie . In ähnlicher Weise können wir Zeitumkehr-Breaking-Hopping-Terme zum Hamilton-Operator hinzufügen und ein ausreichend starkes (einheitliches) chemisches Potential wählen, so dass | 0 ⟩ ist der einzigartige Grundzustand mit emergenter Zeitumkehrsymmetrie. Aber ich denke, diese Beispiele sind etwas trivial.
Ein einfaches Modell mit emergenter Symmetrie?
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