Einige Grenzfälle des Heisenberg-XXZ-Modells (2/2)

HINWEIS: Da dies eine lange Frage war, habe ich sie in zwei verschiedene Fragen aufgeteilt!

Für einen Kurs über Quantenintegrierbarkeit lese ich diese Notizen. (Franchini: Notes on Bethe Ansatz Techniques. Vorlesungsskript (2011))

Zum Heisenberg XXZ-Modell sind mir einige Fragen aufgekommen. Die allgemeine Idee ist, dass wir mehrere Versionen dieses Modells im Unterricht lösen werden, indem wir den Bethe-Ansatz-Ansatz verwenden. Allerdings sind mir die Grundlagen noch nicht klar. Betrachten Sie den Hamilton-Operator:

H ^ = − J ∑ ich = 1 N ( S J X S J + 1 X + S J j S J + 1 j + Δ S J z S J + 1 z ) − 2 H ∑ ich = 1 N S J z ,
wobei wir periodische Randbedingungen haben: S J + N a = S J a . Im Folgenden werde ich festlegen H = 0 .

  1. Vermietung J Δ → ∞ wir erhalten ein Ising-Modell mit auch dem Grundzustand | 0 >= | ↑↑↑ ⋯ ↑> . Bedeutet dies, dass das Ising-Modell und das XXX-Modell gleichwertig sind? Mir ist auch aufgefallen, dass die Zustände | ↑↑↑↓↑↑↑> Und | ↑↑↑↓↓↑↑> die gleiche Energie haben, nämlich E = − J Δ / 2 . Das heißt, wenn ein einzelner Spin gedreht wird, kostet es keine Energie mehr, mehr zu drehen! Ist das der Grund dafür, dass das Ising-Modell in 1D keinen Phasenübergang hat? Ich weiß, dass es mit der Tatsache zusammenhängt, dass in 1D die Anzahl der nächsten Nachbarn für einen einzelnen Spin und eine Domäne von Spins gleich ist, aber ich habe die genaue Begründung vergessen, die ich einmal verstanden habe. (Peierls-Argument?) Schließlich besagen die von mir erwähnten Notizen, dass Domänen in diesem ferromagnetischen Zustand einen Spin haben S = 1 . Für eine aufgeregte Drehung kann ich das sehen, aber für mehr nicht. Wie sieht man das?
  2. Vermietung J Δ → − ∞ wir erhalten einen antiferromagnetischen Grundzustand. Die niederenergetischen Anregungen sind nun Domänenwände. Ich verstehe nicht wirklich, warum diese Spin tragen S = 1 / 2 . Wie soll man darüber nachdenken?

Antworten (1)

1.) Der einfachste Weg, die Energie zu zählen, ist der von Domänenwänden. Beide Konfigurationen, die Sie gezeichnet haben, haben zwei Domänenwände. Jede Domänenwand kostet Energie E Δ / 2 , also haben beide Konfigurationen Energie E Δ über dem Grundzustand. Ich verstehe auch nicht, wie man den Spin einer Domain als 1 zählen soll. Vielleicht ist das der Spin/die Seite?

2.) Zu sehen, dass eine Domänenwand zwischen den beiden antiferromagnetischen Grundzuständen Spin hat 1 / 2 , betrachten Sie eine Spinkonfiguration mit einer Domänenwand und teilen Sie den Spin an jeder Stelle gleichmäßig auf die benachbarten Verbindungen auf. Zum Beispiel, wenn es einen Spin gibt S z = 1 / 2 vor Ort ich und eine Drehung S z = − 1 / 2 vor Ort ich + 1 , würden Sie sagen, es gibt 0 Drehen Sie auf dem Link < ich , ich + 1 > . Ebenso, wenn es einen Spin gibt S z = 1 / 2 vor Ort ich und eine Drehung S z = 1 / 2 vor Ort ich + 1 , würden Sie sagen, es gibt Spin S z = 1 / 2 auf dem link < ich , ich + 1 > . Auf diese Weise erhalten Sie überall 0, außer dort, wo zwei Spins des gleichen Typs in einer Reihe sind (dh wo es eine Domänenwand gibt). An der Domainwand erhalten Sie S z = ± 1 / 2 .

Einige Grenzfälle des Heisenberg-XXZ-Modells (2/2)
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