Was ist der Impuls, der kanonisch mit Spin in QM konjugiert ist?

Question

Was ist der Impuls, der kanonisch mit Spin in QM konjugiert ist?

Physik
ising-Modell
Spin-Modelle
Quanten-Spin
kanonische Konjugation

derpy

In Kopec und Usadels Phys. Rev. Lett. 78.1988 wird ein Spinglas-Hamiltonoperator in der Form eingeführt:

$H = \frac{Δ}{2} \sum_{ich} Π_{ich}^{2} - \sum_{ich < j} J_{ich j} σ_{ich} σ_{j},$ $H = \frac{\Delta}{2}\sum_i \Pi^2_i - \sum_{i<j}J_{ij}\sigma_i \sigma_j,$ wo die Variablen $\sigma_i (i = 1, \ldots, N)$ sind Spin-Freiheitsgraden [...] zugeordnet und kanonisch mit den "Impuls"-Operatoren konjugiert $\Pi_i$ so dass $[\sigma_i, \Pi_j] = i \delta_{ij}$ .

Nun bin ich es gewohnt, den „kinetischen“ Begriff in einem Querfeld-Ising-ähnlichen Hamilton-Operator als zu schreiben $\propto \sum_i \sigma^x_i$ (Arbeitet auf der Standardbasis von $\{\sigma^z_i\}$ ), daher wirft diese Passage einige Fragen für mich auf.

Was ist das $\Pi_i$ Betreiber? Wenn $\Pi_i^2 = \sigma^x_i$ , wie ich anfangs glaubte, dann können sie keine Observablen sein, denn das Quadrat eines selbstadjungierten Operators ist positiv semidefinit (was $\sigma^x_i$ ist nicht). In der Tat, wenn man sich auf die beschränkt $i$ -ten Spin und nimmt $i = j$ , das kann man leicht beweisen

[σ^{z}, Π] = σ^{z} Π - Π^{†} σ^{z} = ich 1

$[\sigma^z, \Pi] = \sigma^z \Pi - \Pi^\dagger \sigma^z = i \mathbb 1$ ist damit zufrieden

Π = (\begin{matrix} ich / 2 & b \\ - \bar{b} & - ich / 2 \end{matrix})

$\Pi = \begin{pmatrix}i/2&b\\-\bar{b}&-i/2\end{pmatrix}$ mit

b \in C

$b \in \mathbb C$ . Dies entspricht einem Vielfachen der Identitätsmatrix, was wie eine seltsame Wahl für einen kinetischen Term erscheint. Ich habe das Gefühl, dass mir hier etwas fehlt.

Allgemeiner gesprochen kann man sogar einen Impuls „kanonisch konjugieren“ definieren $\sigma^z$ , oder irgendein anderer Spin-Operator für diese Angelegenheit? Soweit ich weiß, sind in der klassischen Mechanik die mit physikalischen Drehungen konjugierten Variablen Winkel, aber dies kann nicht auf offensichtliche Weise auf QM übertragen werden.

anna v

schau mal bei JxJy .... Unschärferelationen en.wikipedia.org/wiki/… .

QMechaniker

Kleiner Kommentar zum Beitrag (v1): Bitte verlinken Sie in Zukunft auf Abstract-Seiten statt auf PDF-Dateien.

derpy

@Qmechanic Ordnungsgemäß notiert. Vielen Dank für den Hinweis.

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Was ist der Impuls, der kanonisch mit Spin in QM konjugiert ist?

schau mal bei JxJy .... Unschärferelationen en.wikipedia.org/wiki/… .
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@Qmechanic Ordnungsgemäß notiert. Vielen Dank für den Hinweis.

Kosmas Zachos · Answer 1

Auch wenn der explizite Kommutator, den Sie geschrieben haben, falsch ist - Sie hätten nicht konjugieren sollen $\Pi$ im zweiten Term - Ihre Schlussfolgerung ist vernünftig, dass Sie die Born-Heisenberg-Kommutationsbeziehung möglicherweise nicht mit 2x2-Matrizen erfüllen können.

Tatsächlich gibt es einen allgemeinen Satz : Die Heisenberg-Algebra lässt keine getreuen endlichdimensionalen (Matrix-)Darstellungen zu . Also, was auch immer sie sonst sein mögen, Ihre Variablen $\sigma, \Pi$ sind keine beschränkten Operatoren --- und die 2x2-Matrizen, die Sie in Betracht ziehen, können dies auch nicht sein.

Diese Beobachtung wurde erstmals von P. Jordan, Zeits. f. Phys. 44 1 (1927).

Zhengyan Shi · Answer 2

Zunächst einmal gibt es einen ganz elementaren Grund dafür $[\sigma_i,\Pi_j] = i \delta_{ij}$ ist für endlichdimensionale Matrizen unmöglich. Denn diese Identität würde zu folgendem Widerspruch führen:

Tr [EIN, B] = 0 \neq Tr (ich \cdot 1) = ich \cdot n

$\text{Tr}[A,B] = 0 \neq \text{Tr} (i \cdot \mathbb{1}) = i \cdot n$ Wo

A, B

$A,B$ sind

n \times n

$n \times n$ Matrizen.

Wenn wir jedoch das Papier von Kopec und Usadel sorgfältig lesen , fällt uns ein Schlüsselwort auf, das in der Frage nicht erwähnt wird:

Um die wesentliche Physik des Problems zu erfassen, betrachten wir ein quantisiertes sphärisches Modell auf dem Bethe-Gitter, das durch den Hamilton-Operator gegeben ist:
$H = \frac{Δ}{2} \sum_{ich} Π_{ich}^{2} - \sum_{ich, j} J_{ich j} σ_{ich} σ_{j}$ $H = \frac{\Delta}{2} \sum_i \Pi_i^2 - \sum_{i,j} J_{ij} \sigma_i \sigma_j$

Das hervorgehobene Wort "sphärisches Modell" bedeutet, dass wir die sphärische Beschränkung haben $\sum_i \sigma_i^2 = 1$ anstelle der Ising-Einschränkung $\sigma_i^2 = 1$ für alle $i$ . Also die $\sigma_i$ in diesem Modell handelt es sich tatsächlich um einen Zwangspositionsoperator, der auf einen unendlich dimensionalen Hilbert-Raum wirkt, und eine Kommutierungsbeziehung wie $[\sigma_i,\Pi_j] = i \delta_{ij}$ denkbar wird.

Allerdings habe ich eine anhaltende Verwirrung. Wenn ich sphärische Beschränkungen betrachte, bin ich es gewohnt, die Dirac-Klammer anstelle der Poisson-Klammer zu quantisieren (Die Dirac-Klammer ist eine Modifikation der Poisson-Klammer, die beispielsweise in Weinberg QFT Abschnitt 7.6 besprochen wird). Verwenden von Dirac-Klammern:

[Π_{ich}, σ_{j}] \neq ich 1

$[\Pi_i, \sigma_j] \neq i \mathbb{1}$ Ich verstehe also nicht ganz, warum der Autor die standardmäßige kanonische Kommutierungsrelation verwendet hat, um das System zu quantisieren. Ich hoffe, jemand anderes wird diesen Punkt klären.

Sie haben nicht genug aus der Zeitung zitiert. Gleich der nächste Satz klärt Ihren Punkt auf: „auf dem Bethe-Gitter mit Koordination z gelegen“. Daher gibt es keine auferlegte Kugelbeschränkung; $\sigma_j$ Einfach über das Gitter laufen. Stattdessen heißt es ein paar Zeilen später, dass nur der Mittelwert der sphärischen Relation zur Reproduktion erzwungen wird.
@ArnoldNeumaier Danke für den Hinweis. Diese Aussage ist mir tatsächlich nicht aufgefallen. Diese Aussage macht das Papier jedoch für mich verwirrender. Wenn $\sigma_j$ 's diskrete Variablen sind, dann ist die Vertauschungsrelation unmöglich. Nun, wenn wir nehmen $\sigma_j$ kontinuierliche Variablen sein müssen, die die gemittelte Einschränkung erfüllen, dann verstehe ich Gleichung (2) in dem Artikel nicht, die eindeutig eine Delta-Funktion verwendet, um die exakte sphärische Einschränkung aufzuerlegen! In beiden Fällen verstehe ich nicht, warum wir anstelle der Dirac-Quantisierung eine kanonische Quantisierung durchführen dürfen.
Ja, sie tun nicht, was sie sagen, und erzwingen tatsächlich im Pfadintegral (2) nicht die gemittelte Einschränkung, sondern die genaue Einschränkung. Die Verwendung der nach (3) eingeführten integralen Darstellung der Delta-Einschränkung wandelt diese (nicht streng) in ein Integral über ein Pfadintegral des unbeschränkten Systems um. Dadurch können sie das Wegintegral mit den Standardkommutierungsregeln auswerten.

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