Einige Grenzfälle des Heisenberg XXZ-Modells (1/2)

HINWEIS: Da dies eine lange Frage war, habe ich sie in zwei verschiedene Fragen aufgeteilt!

Für einen Kurs über Quantenintegrierbarkeit lese ich diese Notizen. (Franchini: Notes on Bethe Ansatz Techniques. Vorlesungsskript (2011))

Zum Heisenberg XXZ-Modell sind mir einige Fragen aufgekommen. Die allgemeine Idee ist, dass wir mehrere Versionen dieses Modells im Unterricht lösen werden, indem wir den Bethe-Ansatz-Ansatz verwenden. Allerdings sind mir die Grundlagen noch nicht klar. Betrachten Sie den Hamilton-Operator:

$$\begin{equation} \hat{H} = - J \sum_{i=1}^N \left(S^x_jS^x_{j+1} + S^y_jS^y_{j+1} + \Delta S^z_jS^z_{j+1}\right) - 2h\sum_{i=1}^NS^z_j, \end{equation}$$ wobei wir periodische Randbedingungen haben: $S^{\alpha}_{j+N} = S^{\alpha}_j$. Im Folgenden werde ich festlegen $h=0$.

1. Für$\Delta = 1$Wir stellen das Heisenberg XXX-Modell wieder her. Zuerst dachte ich, dass ein Grundzustand alle Spins wären, die einen Winkel von 45 Grad mit der z-Achse und der projizierte Teil einen Winkel von 45 Grad mit der y- und der x-Achse bilden. Äquivalente Grundzustände würden dann folgen, indem Drehungen von 90 Grad um die z-Achse ausgeführt werden. Mir ist jedoch aufgefallen, dass das Modell durch die Einführung der Spin-Flip-Operatoren gelöst wird:$S^{\pm}_n := S^x_n \pm iS^y_n$. Ich denke, dies bedeutet effektiv, dass Sie entlang der z-Richtung quantisieren, was einen Grundzustand ergibt$|0> = |\uparrow\uparrow\uparrow\dots\uparrow>$, mit allen Spins in z-Richtung. Ist diese Überlegung richtig? Natürlich habe ich in meinem Quantenmechanikkurs Spin gemacht, aber ich kann die Verbindung zu diesem Fall nicht herstellen und habe meine Handlichkeit damit verloren.

2. $\Delta=0$: das XX- oder XY-Modell. Anscheinend "kann das Modell exakt in freie Gitter-Fermionen abgebildet werden" . Ich habe keine Ahnung, was das bedeutet und wie es funktioniert. Verweise?