Nullmoden aj∼e−κjaj∼e−κja_j\sim e^{-\kappa j} in einer halb-unendlichen Quanten-Ising-Kette?

Um die Leistung des Quantenglühens zu analysieren, habe ich die Quantendiffusion in fermionisierbaren Gittermodellen mit Nullmoden untersucht. Insbesondere das in räumlicher Richtung halbunendliche 1+1D-Quanten-Ising-Modell ist das einfachste mögliche Beispiel für ein fermionisierbares Gittermodell mit einem Nullmodus gerade außerhalb seiner paramagnetischen Phase. Ich hatte jedoch Probleme, diese Modi in Ab-initio-Berechnungen zu erzeugen . Ich habe, dass das semi-infinite Quanten-Ising-Modell dual zum nicht-interagierenden Fermion-Modell ist

H = ich ∑ J ≥ 1 ( B γ 2 J − 1 γ 2 J + J γ 2 J γ 2 J + 1 ) ∈ S P ich N ∞
Verwendung der Identifikation S P ich N ∞ ≃ S Ö ∞ Induziert durch die universelle Überdeckungskarte erhält man eine Darstellung des Modells als antisymmetrische Matrix H ~ , deren Nullmoden räumlich abfallende Eigenvektoren sein sollten. Vielleicht kann ich diese Modi nicht finden, weil ich die Eigenvektoren von extrahiere H ~ über einen Bulk-Ansatz, wobei wir feststellen, dass die unendliche Ising-Kette
H ' = ich ∑ J ∈ Z ( B γ 2 J − 1 γ 2 J + J γ 2 J γ 2 J + 1 )                      
kann exakt unter Verwendung von Translationssymmetrie gelöst werden und lässt eine formale Translationseigenraumzerlegung zu. Die Nullmoden sollten dann jenen formalen Eigenvektoren mit imaginärem Wellenvektor entsprechen k = ich κ die zufällig auch die Randbedingung der halbunendlichen Kette erfüllen. Darüber hinaus garantieren Normierungsbeschränkungen eine maximale Amplitude am Rand des Gitters und eine exponentiell abfallende Amplitude ins Innere, dh eine reine Wellenform. Wenn ich jedoch versuche, den Modus an die halbunendliche Kette anzupassen, reduziert sich die Randbedingung auf
B 2 J e κ − B B − J e − κ = B 2 + J 2 − 2 J B cosch ⁡ κ
Was reduziert sich auf B = B − J e − κ , eine Gleichung, die nur den vollständig lokalisierten Modus zulässt κ = ∞ . Ich frage mich dann, wie man sanft zerfallende Lösungen erhält, und darüber hinaus Bedingungen auf dem Querfeld, die ihre Existenz garantieren. Etwas Klarheit darüber, wo genau meine Logik / Methode versagt, wäre großartig!

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Das Ergebnis ist, dass Sie vergessen haben, eine komplexe Komponente in den Wellenvektor aufzunehmen. Die Tatsache, dass Ihre Streuung eine trigonometrische Funktion wie enthält cosch oder cos , die nur auf der reellen und imaginären Achse definiert sind, zeigt, dass Sie gehofft haben, einen rein reellen oder imaginären Wellenvektor zu finden. Der wahre Wellenvektor des Niedrigenergiemodus lebt auf keiner Achse, daher ist es nicht verwunderlich, dass Sie ihn nicht finden konnten.

Wie finden wir seine explizite Form? Besser als ein "Bulk-Ansatz" ist ein rigoroses mathematisches Vorgehen. Tatsächlich sagt uns die Toeplitz-Erweiterung der K-Theorie, dass dieser Niedrigenergiemodus tatsächlich Nullenergie hat , weil der topologische Index Ihres Modells ungleich Null und gleich eins ist und weil wesentliche Spektren unter Störungen unveränderlich sind durch einen kompakten Operator. Das hilft uns ungemein.

Außerdem hätten Sie eine weitere wichtige Symmetrie Ihres Hamilton-Operators verwenden sollen: Er mischt keine Basisvektoren mit ungeradem Index oder Basisvektoren mit geradem Index untereinander. Dies impliziert eine Blockzerlegung

H = ( 0 J S L + B − J S L † − B 0 )
Wo S L ist der Linksverschiebungsoperator. Nutzen Sie Symmetrien im Problem immer, immer zu Ihrem Vorteil. Darüber hinaus aus der Formel für den analytischen Index (da alle quadratischen Fermion-Hamiltonianer Operatoren vom Dirac-Typ sind, haben sie dieselbe Indexformel):
a-ind ( H ) = schwach ⁡ Ker ⁡ ( J S L + B ) − schwach ⁡ Ker ⁡ ( − J S L † − B )
Der erste Term ist umkehrbar, also haben wir die Formel
a-ind ( H ) = schwach ⁡ Ker ⁡ ( − J S L † − B ) = t-ind ( H ) = 1
(Denken Sie daran, dass Ihr Hamiltonian eine glatte Deformation des Kitaev-Modells bei einem chemischen Potential von Null ist, also teilt er seinen topologischen Index, der eins ist.) Daher ist unser Nullmodus die einzigartige Lösung für diese Gleichung, die durch die Berechnung des topologischen Index garantiert wird:
S L = − B / J
Dies impliziert, dass der Nullmodus ein Eigenvektor der Linksverschiebung mit negativem Eigenwert ist − B / J . Dies hat eine Lösung mit Wellenvektor
κ = Protokoll ⁡ B / J + ich π / 2
Die nicht auf der realen oder imaginären Achse liegt, sondern im Inneren der komplexen Ebene liegt.

Nullmoden aj∼e−κjaj∼e−κja_j\sim e^{-\kappa j} in einer halb-unendlichen Quanten-Ising-Kette?
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