Wie kann ich sagen, ob ein Hamiltonoperator integrierbar ist oder nicht?

Der Querfeld-Ising-Hamiltonian

H = J ∑ ich = 0 N σ ich z σ ich + 1 z + H X ∑ ich = 0 N σ ich X
ist integrierbar , weil sie mit Jordan-Wigner-Transformationen exakt gelöst werden kann. Aber das gekippte Feld Ising Hamiltonian
J ∑ ich = 0 N σ ich z σ ich + 1 z + H z ∑ ich = 0 N σ ich z + H X ∑ ich = 0 N σ ich X
ist ein nicht integrierbarer Hamiltonoperator. Da die Jordan-Wigner-Transformation eine nicht triviale Transformation ist, wie kann ich nur durch Betrachten des anfänglichen Hamiltonian eines Systems sagen, ob es integrierbar ist oder nicht?

Es könnte ein wenig davon abhängen, was Sie unter "integrierbar" verstehen: Ist es das: en.wikipedia.org/wiki/Integrable_system#Exactly_solvable_models ? (Auf jeden Fall würde ich sagen, die Antwort lautet: "Das kann man nicht pauschal sagen.")

Antworten (2)

Ich glaube nicht, dass der Ebenenabstand "ausreicht", um festzustellen, ob ein System "integrierbar" ist oder nicht. (Natürlich hängt es davon ab, wie man Integrierbarkeit definiert.) Die Idee des Ebenenabstands wird Berry-Tabor-Vermutung genannt, und es ist nicht bewiesen, dass die Poissonsche Verteilung im Fall der Quantenintegrierbarkeit intrinsisch ist.

Für die "Quantenintegrierbarkeit" reicht mir die Existenz von weitgehend vielen Erhaltungsladungen (mit lokalen oder quasi-lokalen Dichten) aus. (oder äquivalent die Existenz der Yang-Baxter-Gleichung im System) Viele Systeme wie das Lieb-Liniger-Modell und die Heisenberg-XXZ-Kette werden durch den Bethe-Ansatz gelöst, während einige andere unter Verwendung der Yangian-Symmetrie gelöst werden, z. B. das langreichweitige Haldane-Shastry-Modell.

Wenn ein Modell nach einer gewissen Transformation zu einem freien Modell wird, wie im Fall des transversalen Ising-Modells, ist es natürlich integrierbar. (Streuung im freien Modell ist trivial und unendlich viele Erhaltungsladungen mit lokalen Dichten sind einfach zu konstruieren.) Im Allgemeinen gibt es keine Möglichkeit a priori zu bestimmen, ob ein wechselwirkendes Quantensystem "integrierbar" ist oder nicht.

Man kann die Integrierbarkeit nicht nur anhand der Form des Hamilton-Operators bestimmen. Die Abstände im Spektrum des Hamiltonoperators müssen berechnet werden und abhängig von den mittleren Niveauabständen in der Zustandsdichte kann man über die Integrierbarkeit entscheiden.

Wie kann ich sagen, ob ein Hamiltonoperator integrierbar ist oder nicht?
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