Integrierbarkeit des verallgemeinerten Richardson-Hubbard-Modells

Kürzlich interessierte ich mich ein wenig für die Möglichkeit, ein Spektrum einiger interessanter Klassen von quantenmechanischen Hamiltonianern mit Gitter zu finden, wie Richardsons Paarungsketten aus Hamiltonian, 1D-Hubbard-Hamiltonian und 1D-Heisenberg-Spinketten.

In diesem Zusammenhang habe ich diese Frage, ist der folgende verallgemeinerte Richardson-Hubbard-Modell-Hamiltonian genau lösbar (analytische Machbarkeit des Findens des Spektrums) oder integrierbar:

Wo

mit$c_{k}^{\dagger}(x)/c_{k}^{}(x)$ein fermionischer Erzeugungs-/Vernichtungsoperator zum Erzeugen/Vernichten von Flavour-Fermionen$k$am Ort$x$von a$1D$periodisches Gitter zum Beispiel. Weiter$\mathbb{A}(x)$Und$\mathbb{B}(x,y)$sind komplex$n \times n$Und$n_{}^{2} \times n_{}^{2}$Matrizen bzw. Nur um allgemeiner zu sein, hier die Beschränkung auf die hermitische Natur von$\mathbb{\hat{H}}$wird nicht vorausgesetzt (damit es möglich ist, Techniken zum Aufbau offener Quantensysteme zu verallgemeinern).

Wenn als solche$\mathbb{\hat{H}}$ist nicht genau lösbar/integrierbar, wozu weitere Einschränkungen nötig sind$\mathbb{A}(x)$Und$\mathbb{B}(x,y)$damit dieses Problem genau lösbar/integrierbar ist: wie einschränkend$x,y$in der zweiten Summierung der Hamilton-Definition zum nächsten Nachbarn und/oder einschränkend$\mathbb{A}(x)$Und$\mathbb{B}(x,y)$homogen sein (unabhängig von$x$Und$y$) und/oder Beschränkungen der Struktur von$\mathbb{A}(x)$und/oder$\mathbb{B}(x,y)$Matrizen und/oder Dimensionalität des Flavour-Raums ($n$) und so weiter (ausgenommen triviale Grenzen wie nicht-interagierender Fall ($\mathbb{B}(x,y)=\mathbb{O}_{n_{}^{2}\times n_{}^{2}}^{}$für alle$x,y$des Gitters) und/oder alle Gitterplätze entkoppelter Fall ($\mathbb{B}(x,y)=\mathbb{B}\delta_{xy}^{}$- Beachten Sie hier, dass ich klein bin$n$Fall im Sinne der Reihenfolge mindestens 4 und nicht mehr als 6)). Ein besonderer Fall, der mich interessiert, ist$\mathbb{A}(x)$Und$\mathbb{B}(x,y)$sind homogen und$n=4$.

Insbesondere suche ich nach der Zugänglichkeit von Richardsons Ansatz oder koordinativen / algebraischen / funktionalen Bethe-Ansatzmethoden (ich versuche immer noch, grundlegende Elemente des algebraischen Bethe-Ansatzes herauszufinden, Verweise in diese Richtung werden auch äußerst hilfreich sein) für die genaue Lösbarkeit / Integrierbarkeit von$\mathbb{\hat{H}}$.