Undefinierte Amplituden im Coordinate Bethe Ansatz für das XXX-Modell?

Eher spezielle Frage für jemanden, der mit dem Koordinaten-Bethe-Ansatz vertraut ist ... Ich betrachte das Heisenberg-XXX-Modell, bestehend aus einer eindimensionalen Kette von L-Stellen mit einem Spin-1/2-Teilchen an jeder Stelle und periodischen Randbedingungen, dh S N + L = S N . Der Hamiltonoperator ist gegeben durch

H = − J 2 ∑ N = 1 L S N + S N + 1 − + S N − S N + 1 + + S N z S N + 1 z mit J eine Kopplungskonstante.

Auswahl der z -Achse als Quantisierungsachse können wir schreiben S z = L 2 − M , Wo M ist die Zahl dreht sich nach unten. Aufgrund der Konservierung von S z Wir können die Eigenvektoren des Hamilton-Operators finden, indem wir uns jeden Wert für ansehen M separat.

Für M = 2 , schreiben Sie einen Zustand als | ψ >= ∑ 1 ≤ N 1 < N 2 ≤ L L F ( N 1 , N 2 ) | N 1 , N 2 > , Wo | N 1 , N 2 > bezeichnet den Basiszustand, in dem sich die Spins befinden N 1 Und N 2 sind unten. Der Koordinaten-Bethe-Ansatz für die Eigenvektoren ist

F ( N 1 , N 2 ) = A e ich ( k 1 N 1 + k 2 N 2 ) + B e ich ( k 2 N 1 + k 1 N 2 ) mit A- und B-Konstanten.

Anwendung des Hamiltonoperators auf | ψ > , ohne Verwendung des Koordinaten-Bethe-Ansatzes, ergibt dann eine Gleichung für den Eigenwert sowie folgende Bedingung:

2 F ( N 1 , N 1 + 1 ) = F ( N 1 , N 1 ) + F ( N 1 + 1 , N 1 + 1 ) .

Nun die Frage: Die obige Bedingung wurde ohne Verwendung des Bethe-Ansatzes abgeleitet (siehe zum Beispiel diese Notizen , Seiten 62-63). Es enthält Amplituden F ( N 1 , N 1 ) , die jedoch nicht durch die allgemeine Erweiterung definiert sind | ψ > da haben wir das N 2 > N 1 ! Erst durch nachträgliches Einfügen des Bethe-Ansatzes ergeben sich die gewünschten Gleichungen zur Lösung des Spektrums von H . Können wir diese Bedingung ohne Verwendung des Bethe-Ansatzes verstehen, dh warum sollte sie gut definiert sein? Auch warum muss der Bethe-Ansatz auch gelten N 2 = N 1 Hier? Ich könnte mir vorstellen, einfach zu definieren F ( N 1 , N 1 ) = 0 seit der Amplitude F ( N 1 , N 1 ) erscheint nicht in der Erweiterung | ψ > wie auch immer.

Ich hoffe das ist klar...

Antworten (1)

Macht nichts, ich habe es herausgefunden. Für Interessierte:

Bewirbt sich H Zu | ψ > , das Ergebnis kann geschrieben werden als ∑ 1 ≤ N 1 < N 2 ≤ L L a ( N 1 , N 2 ) | N 1 , N 2 > + ∑ N 1 = 1 L β ( N 1 ) | N 1 , N 1 + 1 > ,

Wo a Und β sind Funktionen, die "illegale" Begriffe wie enthalten F ( N 1 , N 1 ) . Der nächste Schritt wäre anspruchsvoll a ( N 1 , N 2 ) = E F ( N 1 , N 2 ) Und β ( N ) = 0 , so dass | ψ > ist tatsächlich ein Eigenwert. Mit dem Bethe-Ansatz z F ( N , N ) liefert dann auch das gewünschte Ergebnis, erfordert aber eine Erweiterung der Definition von F ( N 1 , N 2 ) Zu N 1 = N 2 .

Alternativ bei der Bewerbung H Zu | ψ > , das Ergebnis kann geschrieben werden als ∑ 1 ≤ N 1 + 1 < N 2 ≤ L L a ' ( N 1 , N 2 ) | N 1 , N 2 > + ∑ N 1 = 1 L β ' ( N 1 ) | N 1 , N 1 + 1 > .

In diesem Fall müssen wir das verlangen a ' ( N 1 , N 2 ) = E F ( N 1 , N 2 ) (diesmal für N 2 > N 1 + 1 ) Und β ' ( N ) = E F ( N , N + 1 ) . Diese Anforderungen enthalten keine F ( N , N ) Bedingungen. Aber um die Bedingung zu bekommen 2 F ( N 1 , N 1 + 1 ) = F ( N 1 , N 1 ) + F ( N 1 + 1 , N 1 + 1 ) ,

Wir müssen zuerst den Bethe Ansatz einführen a ' ( N 1 , N 2 ) = E F ( N 1 , N 2 ) und berechnen E , dann beachte, dass diese Gleichung auch für gilt N 2 = N 1 + 1 (durch Einfügen der gefundenen E ) und dann folgt die Bedingung aus β ' ( N ) − a ' ( N , N + 1 ) = 0 .

Die Antwort lautet also ja, die Bedingung hängt von der Form des Bethe-Ansatzes ab!

Undefinierte Amplituden im Coordinate Bethe Ansatz für das XXX-Modell?
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