Erste Integrale höherer Ordnung eines Hamiltonoperators finden

Die einfache Antwort ist insgesamt, dass man immer ein Bewegungsintegral in einer bestimmten Form annehmen und schauen muss, ob die Bedingungen für seine Existenz überhaupt erfüllt sind. Im Allgemeinen sind sie es nicht, und wenn keine explizite Symmetrie eine vollständige Integrierbarkeit anzeigt, kann man nicht erwarten, dass die Bewegung vollständig integrierbar sein wird; im Gegenteil, Teile des Phasenraums werden fast immer chaotisch sein. Die Methoden zum Auffinden des „verborgenen“ Bewegungsintegrals variieren von Fall zu Fall, und ich werde nur den Fall diskutieren, in dem nach dem „letzten“ Bewegungsintegral gesucht wird, das für eine vollständige Integrierbarkeit erforderlich ist, da wir bereits Integrierbarkeit haben, die von Stationarität und Achsensymmetrie herrührt.

Außerdem werde ich Ihre Frage auf zwei Arten interpretieren: 1) die Bewegung eines relativistischen Teilchens und 2) die Bewegung eines Newtonschen Teilchens in einem Potentialfeld. Ich werde auch nur globale Bewegungsintegrale diskutieren, dh solche, die für jede Trajektorie gültig sind.

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Wie bei 1) müssen Sie die Vier-Geschwindigkeits-Normalisierung erfüllen$g^{\mu \nu} u_\mu u_\nu = -1$. Der von Ihnen angegebene Hamiltonian führt jedoch zu einer Normalisierung$g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu = -\mu^2 - V(q)$mit$\mu$eine Konstante, was bedeutet, dass Ihre Impulse (auf der Schale) mit vier Geschwindigkeiten zusammenhängen$p_\mu = \sqrt{\mu^2 + V} \,u_\mu$.

Weitere Berechnungen zeigen Ihnen, dass Ihr Hamiltonoperator tatsächlich Trajektorien reproduziert, die durch einen nicht-affinen Parameter parametrisiert sind$\lambda$auf die richtige Zeit bezogen$\tau$als$d \tau =\sqrt{\mu^2 + V} d\lambda$. Der Hamilton-Operator, der Trajektorien reproduziert, die durch die Eigenzeit parametrisiert sind, wäre

$$H = \frac{1}{2 \sqrt{\mu^2 + V}} g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu - \frac{1}{2} \sqrt{\mu^2 + V}$$ Wir können jedoch weiter vorgehen und durch einen anderen Parameter neu parametrieren$d \tau = dp/\sqrt{\mu^2 + V}$was uns zum Hamiltonoperator führt $$H = \frac{1}{2 (\mu^2 + V)} g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu$$ Das heißt, wonach Sie suchen, ist das Bewegungsintegral für Geodäten in der Metrik$\tilde{g}^{\mu \nu} = g^{\mu \nu}/(\mu^2 + V)$. Dazu müssen Sie nach Killing-Tensoren der Metrik suchen$\tilde{g}^{\mu \nu}$, wie in dieser Antwort besprochen .

So oder so sollte klar sein, dass die einzige vierdimensionale Vakuumlösung für Einstein-Gleichungen, die einen irreduziblen (nicht trivialerweise aus einfachen Killing-Vektoren zusammengesetzten) Killing-Tensor besitzt, die Kerr-NUT-(A)dS-Raumzeit ist. Wenn Sie eine generische stationäre achsensymmetrische Vakuummetrik haben, ist die Bewegung einfach nicht integrierbar.

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Wie bei 2) dürfen Sie diesen Reparametrisierungstrick auch durchführen, aber Ihre Metrik gilt nur für isoenergetische Oberflächen im Phasenraum, da es in der Newtonschen Physik so etwas wie eine Normalisierung mit vier Geschwindigkeiten nicht gibt. Die durch diese Methode erhaltene Metrik wird Jacobi-Metrik genannt (mehr dazu finden Sie in Pettini's Geometry and Topology in Hamiltonian Dynamics ) und Sie können nach dem Killing-Tensor dieser Metrik suchen, um das andere Bewegungsintegral zu finden.

Es ist jedoch bequemer, ein Bewegungsintegral der Form anzunehmen$C = K^{ij}p_i p_j + K(q)$und suchen Sie nach Konsequenzen der Anforderung, dass$\dot{C} = 0$in kartesischen Koordinaten ohne irgendwelche komischen Umparametrierungen etc. Für Ihre Hamilton- und in kartesischen Koordinaten erhalten Sie (nur arbeiten mit$i,j$Indizes, um die Newtonsche Natur des Problems anzuzeigen) die Bedingungen

$$\partial^{(k}K^{ij)} = 0$$ $$\partial^{j} K = 2 K^{jk} \partial_k V$$ Wo wir jetzt nur partielle statt kovariante Ableitungen haben, was es ermöglicht, explizite Bedingungen zu erhalten$V$integrierbare Bewegung zu erzeugen. Wenn sich der Staub absetzt, erhalten Sie, dass die Bewegung stationär und achsensymmetrisch ist$V$ist integrierbar genau dann$V$ist von der Form $$V = \frac{C_1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z-C_2)^2}} + \frac{C_1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z+C_2)^2}} + C_3 (x^2 + y^2 + z^2)$$ Wo$C_1,C_2,C_3$sind einige Konstanten. Wenn Sie ein achsensymmetrisches stationäres Potential haben, kann gezeigt werden (mit ziemlich viel Arbeit, insbesondere für den quartischen Fall), dass ein polynomisches Bewegungsintegral höherer Ordnung als quadratisch nicht existieren kann .

Das heißt, Sie müssen sich Ihr axialsymmetrisches stationäres Potenzial ansehen und sehen, ob es so aussieht wie das oben angegebene. Wenn nicht, wird es nicht global integrierbar sein.

Das alles ist in dem Papier von Charalampos Markakis aus dem Jahr 2014 schön zusammengefasst , Sie werden auch gute Referenzen in diesem Papier finden.