Helfen Sie beim Auffinden von Bewegungsgleichungen aus dem Hamilton-Operator mit Bewegungsintegral

Question

Helfen Sie beim Auffinden von Bewegungsgleichungen aus dem Hamilton-Operator mit Bewegungsintegral

Physik
hamiltonisch
Phasenraum
Bewegungsintegrale
Hamiltonscher Formalismus
Hausaufgaben und Übungen

Benutzer3903647

Ich habe diesem Hamiltonian einen Freiheitsgrad gegeben:

H (X, P) = \frac{P^{2}}{2} + \frac{ω_{0}^{2} X^{2}}{2} + λ {(\frac{P^{2}}{2} + \frac{ω_{0}^{2} X^{2}}{2})}^{2}

$H(x,p)=\frac{p^2}{2}+\frac{\omega_0^2x^2}{2}+\lambda\left(\frac{p^2}{2}+\frac{\omega_{0}^2x^2}{2}\right)^2$ Ich muss die allgemeine Lösung für die Bewegung dieses Teilchens finden

(x (t), p (t))

$(x(t),p(t))$ . Es ist erforderlich, die Bewegungsgleichungen zu lösen, nicht nur zu finden. Das habe ich gezeigt

f = p^{2} + ω_{0}^{2} x^{2}

$f = p^2+\omega_{0}^2x^2$ ist zeitunabhängig durch Berechnung:

{F, H} = 0

$\{f,H\}=0$ Aber ich habe Schwierigkeiten, die endgültige Lösung zu finden. Ich habe versucht, Folgendes zu tun:

2 P \dot{P} + 2 ω_{0}^{2} X \dot{X} = \dot{F} = 0

$2p\dot{p}+2\omega_{0}^2x\dot{x}=\dot{f}=0$

\dot{P} = - \frac{ω_{0}^{2} X \dot{X}}{P}

$\dot{p}=-\frac{\omega_{0}^2x\dot{x}}{p}$ Und dann:

\dot{P} = - \frac{\partial H}{\partial X}

$\newcommand{\pder}[2][]{\frac{\partial#1}{\partial#2}} \dot{p}=-\pder[H]{x}$ Gleich für

\dot{x}

$\dot{x}$ . Ich bekomme jedoch keine schöneren Differentialgleichungen und ich denke nicht, dass es der richtige Ansatz ist. Könnte mir jemand einen Hinweis geben?

Konstantin Schwarz

Hallo. Müssen Sie die Bewegungsgleichungen finden oder die Bewegungsgleichungen lösen? Danke.

Benutzer3903647

Ich muss sie lösen

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Hallo. Müssen Sie die Bewegungsgleichungen finden oder die Bewegungsgleichungen lösen? Danke.

QuantumBrick · Answer 1

Ich will Vereinfachung, also nehme ich $\omega_0 = 1$ . Sie können neu skalieren $x$ und bekomme immer diese Art von Vereinfachung, wenn $\omega_0$ ist eine Konstante. Der Hamiltonian wird dann

H (X, P) = \frac{P^{2}}{2} + \frac{Q^{2}}{2} + λ {(\frac{P^{2}}{2} + \frac{Q^{2}}{2})}^{2} .

$H(x,p) = \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} + \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right)^2 \, .$

Die Hamilton-Gleichungen sind gegeben durch

\begin{aligned} {\begin{cases} \dot{Q} & = P + 2 λ P (\frac{P^{2}}{2} + \frac{Q^{2}}{2}) \\ \dot{P} & = - Q - 2 λ Q (\frac{P^{2}}{2} + \frac{Q^{2}}{2}) \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \dot{Q} & = P [1 + 2 λ (\frac{P^{2}}{2} + \frac{Q^{2}}{2})] \\ \dot{P} & = - Q [1 + 2 λ (\frac{P^{2}}{2} + \frac{Q^{2}}{2})] \end{cases} . \end{aligned}

$\begin{align} \begin{cases} \dot{q} &= p + 2 \lambda p \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \\ \dot{p} &= -q - 2 \lambda q \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dot{q} &= p \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right] \\ \dot{p} &= -q \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right] \end{cases} \, . \end{align}$

Vorausgesetzt $q, \dot{p} \neq 0$ , teilen Sie eine Gleichung durch die andere, um zu erhalten

\frac{(\frac{D Q}{D T})}{(\frac{D P}{D T})} = \frac{P [1 + 2 λ (\frac{P^{2}}{2} + \frac{Q^{2}}{2})]}{- Q [1 + 2 λ (\frac{P^{2}}{2} + \frac{Q^{2}}{2})]} = - \frac{P}{Q} .

$\frac{ \left( \frac{dq}{dt} \right)}{ \left(\frac{dp}{dt} \right)} = \frac{p \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right]}{-q \left[1 + 2 \lambda \left( \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \right) \right]} = -\frac{p}{q} \, .$

Die Lösung ist daher die gleiche wie für die SHO, mit der Ausnahme, dass die neue Frequenz zunimmt, wenn sich die Umlaufbahn weiter vom Ursprung entfernt.

Da ich glaube, dass dies eine Hausaufgabe ist, werde ich keine weiteren Details nennen. Das Problem ist grundsätzlich gelöst.

YASH DESAI · Answer 2

Was ist, wenn dieselbe Frage gestellt wird, um die Bewegungsgleichung zu finden? Ich kenne die Gleichungen von Hamilton. Es fällt mir schwer, sinnvolle vollständige Lösungen zu finden. Ich denke, mein Ansatz ist nicht gut. können Sie ein ähnliches anderes Beispiel vorschlagen? Danke

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Benutzer3903647

Konstantin Schwarz

Benutzer3903647

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QuantumBrick

YASH DESAI

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