Die Beziehung zwischen Hamiltonian und Energie

Ich weiß, dass Hamiltonian genau dann Energie und eine Bewegungskonstante sein kann, wenn:

  1. Lagrange zeitunabhängig sein,
  2. Potential unabhängig von der Geschwindigkeit sein,
  3. koordinieren zeitunabhängig sein.

Ansonsten

H ≠ E ≠ C Ö N S T ,
oder
H = E ≠ C Ö N S T ,
oder
H ≠ E = C Ö N S T .

Ich suche Beispiele für diese drei Situationen.

"Hamiltonian" ausgedrückt durch unbekannte Variablen Q Und P ist ein Hamiltonoperator und dient zur Niederschrift von Bewegungsgleichungen. "Hamiltonisch" ausgedrückt durch Lösungen Q ( T ) Und P ( T ) ist Energie E . Energie muss nicht eingespart werden. Zum Beispiel hat ein Ball, der elastisch von einer stehenden Wand abprallt, eine konstante Energie, aber derselbe Ball in einem sich bewegenden Bezugssystem (wo die Wand auf den ruhenden Ball trifft) erhält Energie aufgrund einer Kollision. Im letzteren Fall wird die bewegte Wand als zeitabhängiges Potential beschrieben U ( Q , T ) = v ( Q − v T )
@VladimirKalitvianski Seltsame Antwort, glaube ich. Wenn Energie nicht gespart wird, würden Sie trotzdem weiter über Energie sprechen? Zum Beispiel haben zeitabhängige Probleme im QM normalerweise keine definierte Energie, liege ich falsch?
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/11905/2451 und darin enthaltene Links.
@Oaoa: Ja, du liegst falsch. In der QM ist jede gemessene Energie ein Eigenwert E N und ein Zustand ohne bestimmte Energie hat diese Eigenzustände in einer Überlagerung oder Mischung.
@VladimirKalitvianski Ok, das ist nur ein Terminologieproblem. Ich würde diesen Zustand nicht als definierte Energie bezeichnen. Aber grundsätzlich hast du natürlich Recht :-) Danke.

Antworten (1)

Beispiel. Zeitabhängige Erdbeschleunigung ( H = E Aber E ˙ ≠ 0 )

Stellen Sie sich ein Teilchen vor, das unter dem Einfluss der Schwerkraft nahe der Oberfläche eines großen, kugelsymmetrischen Planeten fällt. Angenommen, die Masse des Planeten ändert sich mit der Zeit, sodass die Erdbeschleunigung nahe der Oberfläche eine gewisse Funktion hat G ( T ) von Zeit. Dann ist die Lagrange-Funktion

L ( T , z , z ˙ ) = 1 2 M z ˙ 2 − M G ( T ) z
dann konjugiert der kanonische Impuls zu z Ist
P z = ∂ L ∂ z ˙ = M z ˙
und der Hamiltonian ist
H = P z z ˙ − L = P z 2 2 M + M G z
Beachten Sie das in diesem Fall H ( T ) = E ( T ) ; der Hamiltonoperator ist gleich der Gesamtenergie. Nun, in diesem Fall sind die Bewegungsgleichungen
P ˙ z ( T ) = − M G ( T )
Also für jede Lösung z ( T ) zu den Bewegungsgleichungen haben wir
E ˙ ( T ) = P z P ˙ z + M ( G ˙ z + G z ˙ ) = P z ( P ˙ z + M G ) + M G ˙ z = M G ˙ z ≠ 0
Die Gesamtenergie ist nicht erhalten, sie ändert sich mit der Zeit, da die Erdbeschleunigung zeitabhängig ist.

Energieerhaltung ist eine Folge der Zeittranslationsinvarianz. In Situationen, in denen die Zeittranslationsinvarianz gebrochen ist, wie in dem von Josh vorgeschlagenen Beispiel, wird Energie nicht konserviert. Sie müssen verstehen, dass Energie grundsätzlich immer erhalten bleibt, aber in vielen Situationen kann man nicht alle Faktoren betrachten, die zur Energie beitragen (in Joshs Beispiel ignorieren wir, warum die Masse des Planeten zunimmt). Energie und Hamiltonian sind ein und dasselbe. In Situationen, in denen es keine explizite Zeitabhängigkeit vom Hamilton-Operator gibt, bleibt Energie erhalten.
Joshphysics Beispiel ist ziemlich realistisch, wenn sich die Gravitationskraft nicht aufgrund einer variierenden Masse ändert M ( T ) , aber wegen bewegtem Planeten: G ( T ) = − G ⋅ M / R 2 ( T ) .
vielleicht hast du es verpasst M so dass H = P z 2 2 M + M G z ?
Die Beziehung zwischen Hamiltonian und Energie
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v