Eichinvarianz des Hamiltonoperators des elektromagnetischen Feldes

Ich werde versuchen, die Antwort von @VladimirKalitvianski etwas näher zu erläutern.

Aus den Maxwell-Gleichungen können wir ableiten, dass die folgende Kombination von Eichtransformationen auf$\mathbf{A}$Und$\Phi$lass beides$\mathbf{B}$Und$\mathbf{E}$unveränderlich:

$$\begin{align} & \mathbf{A}'=\mathbf{A}-\mathbf{\nabla} \alpha \\& \Phi'=\Phi+\frac{\partial \alpha}{\partial t} \end{align}$$ Wo $\alpha=\alpha(\mathbf{x},t)$. Das bedeutet, dass alle Feldkonfigurationen von $\mathbf{B}$Und $\mathbf{E}$durch eine Eichtransformation zusammenhängen, sind physikalisch äquivalent . Beachten Sie, dass dies nichts mit dem Hamilton-Operator in QM zu tun hat.

Nun wissen wir in der QM, dass eine Wellenfunktion immer mit einem Phasenfaktor multipliziert werden kann:

$$\psi'=e^{-iq\alpha}\psi,$$ Wo $\alpha \neq \alpha(\mathbf{x},t)$, weil die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einer bestimmten Position zu finden, von der obigen Transformation unbeeinflusst bleibt, und auch die Schrödinger-Gleichung und der Wahrscheinlichkeitsstrom von der obigen Transformation unbeeinflusst bleiben. Wenn wir nun fordern, dass obiges auch für wann gilt $\alpha = \alpha(\mathbf{x},t)$(dh eine Eichtransformation), dann muss die Schrödinger-Gleichung eichinvariant gemacht werden: $$\begin{equation} i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{1}{2m}(\mathbf{\nabla}-iq\mathbf{A})^2\psi+(V+q\Phi)\psi \end{equation}$$ so dass die Schrödinger-Gleichung unter den gleichzeitigen Eichtransformationen invariant ist: $$\begin{align} &\mathbf{A}'=\mathbf{A}-\mathbf{\nabla} \alpha \\& \Phi'=\Phi+\frac{\partial \alpha}{\partial t} \\& \psi'=e^{-iq\alpha}\psi \tag{1} \end{align}$$ Beachten Sie, dass wir sagen können, dass wir den "normalen" Hamilton-Operator angepasst haben, indem wir die gewöhnlichen (partiellen) Ableitungen ersetzt haben durch: $$\begin{equation} \begin{array}{cc} \displaystyle \mathbf{\nabla} \rightarrow \mathbf{D}\equiv \mathbf{\nabla} - i q \mathbf{A} \; ,& \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \rightarrow D^0 \equiv\frac{\partial}{\partial t} + iq \end{array} \end{equation}$$ Zusammenfassend, indem wir fordern, dass unsere Theorie unter der durch die Gleichung ausgedrückten Eichtransformation unveränderlich ist $(1)$, sind wir gezwungen, den Hamilton-Operator zu ändern, wie wir es oben getan haben. Dadurch beschreibt der neue Hamiltonoperator jedoch ein Teilchen, das mit den Potentialen wechselwirkt $\mathbf{A}$Und $\Phi$. Wenn Sie dieses Argument nicht überzeugt, empfehle ich Ihnen dringend, sich über den Aharonov-Bohm-Effekt zu informieren ( http://en.wikipedia.org/wiki/Aharonov%E2%80%93Bohm_effect ).

Beachten Sie außerdem, dass wir verlangen, dass eine Eichtransformation keine Observablen beeinflusst. Das bedeutet, dass wir fordern müssen, dass auch der Wahrscheinlichkeitsstrom unbeeinflusst bleibt. Sie können zeigen (obwohl es ziemlich mühsam ist), dass der Strom eicheninvariant gemacht wird, indem Sie die Ersetzung vornehmen:$\displaystyle \mathbf{\nabla} \rightarrow \mathbf{D}$.

Was ist die physikalische Bedeutung der Eich-Nichtinvarianz von Potenzialen?$\mathbf{A}$Und$\phi$? Nach ihren Definitionen zählen nur ihre Unterschiede, nicht die absoluten Werte, um es kurz zu machen.

Der Abstand zwischen zwei Punkten ist ebenfalls unveränderlich, aber die Freiheit bei der Wahl der Rahmenbezugsposition wird in eine Nicht-Invarianz einer Einzelpunktposition übersetzt.