qA⋅vqA⋅vq\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}-Term in potentieller Energie

Question

qA⋅vqA⋅vq\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}-Term in potentieller Energie

Septakel

In dem berühmten Buch der Goldstein-Mechanik gibt es ein Beispiel über ein einzelnes (nicht-relativistisches) Teilchen mit Masse m und Ladung q, das sich in einem E&M-Feld bewegt.

Es besagt, dass die Kraft auf die Ladung aus der folgenden geschwindigkeitsabhängigen potentiellen Energie abgeleitet werden kann

\begin{matrix} (1.62) & U = Q ϕ - Q A \cdot v . \end{matrix}

$U=q\phi-q\mathbf{A}\cdot\mathbf{v} .\tag{1.62}$

(eq 1.62 der 3. Aufl.) Ich kann sehen, woher der Ausdruck aus meinem E&M-Wissen stammt. Bisher ist es in Ordnung. Nächste

L = T - v = \frac{1}{2} M v^{2} - Q ϕ + Q A \cdot v .

$L=T-V=\frac{1}{2}mv^2-q\phi+q\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}.$

(S.341) (Die Notation wurde geändert von $U$ Zu $V$ ohne Erwähnung.) Es sagt, dass wegen der $q\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}$ Begriff ein $V$ , der Hamiltonoperator nicht $T+V$ . Es heißt jedoch, dass es sich immer noch um die Gesamtenergie handelt, da die "potentielle" Energie in einem E & M-Feld durch bestimmt wird $\phi$ allein.

Mich verwirrt der Satz. Besteht es darauf, dass nur potentielle Energie vorhanden ist? $V=\phi$ ? Warum hat es dann früher ein geschwindigkeitsabhängiges Potential eingeführt? Was ist die Rolle von $q\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}$ Begriff?

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Jahan Claes · Answer 1

Ich denke, Goldstein hat einen Fehler gemacht (oder ist zumindest irreführend).

Der Hamiltonoperator für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld ist

H = \frac{1}{2 M} (\vec{P} - Q \vec{A})^{2} + Q ϕ (\vec{X})

$H=\frac{1}{2m}(\vec{p}-q\vec{A})^2+q\phi(\vec x)$ Aus der kanonischen Transformation wissen wir auch, dass der kanonische Impuls gegeben ist durch

\vec{p} = m \dot{\vec{x}} + q \vec{A}

$\vec{p}=m\dot{\vec{x}}+q\vec{A}$ . Tatsächlich ist der Hamiltonian also nichts anderes als

H = \frac{1}{2} M {\dot{X}}^{2} + Q ϕ (\vec{X})

$H=\frac{1}{2}m\dot x^2+q\phi(\vec{x})$ in Bezug auf den kanonischen Impuls geschrieben

\vec{p}

$\vec{p}$ . Somit ist der Hamilton-Operator nicht nur die Gesamtenergie des Teilchens, sondern tatsächlich exakt

T + V

$T+V$ .

Ich denke, Goldstein bezieht sich darauf, dass er früher, in Kapitel 1, die Lagrange-Funktion für ein geladenes Teilchen als aus einer "geschwindigkeitsabhängigen potentiellen Energie" hervorgehend beschrieben hat. $U$ , aus der er schreiben konnte $L=T-U$ . Das $U$ ist KEINE echte potentielle Energie, aber es lässt die Lagrange-Funktion funktionieren. Diesbezüglich $U$ , er sagt, dass wir nicht schreiben können $H=T+U$ , Wo $U$ hier ist eine künstliche "geschwindigkeitsabhängige potentielle Energie". Aber wir KÖNNEN ausdrücklich schreiben $H=T+V$ , Wo $V$ ist die langweilige reguläre potentielle Energie eines Teilchens in einem elektrischen Feld.

QMechaniker · Answer 2

Erstens verwendet Goldstein die Buchstaben $V$ Und $U$ für geschwindigkeitsunabhängige bzw. geschwindigkeitsabhängige Potentiale, wie am Anfang von Abschnitt 1.5 erklärt,
Sowohl die 2. Auflage (S. 346) als auch die 3. Auflage (S. 341) geben fälschlicherweise an, dass die Lagrange-Funktion für eine Punktladung in einem E&M-Bereich steht
$L = T - v$ $L~=~T-V$ statt $L = T - U .$ $L~=~T-U.$ Es scheint, dass Goldstein seine eigene Notationskonvention aus Abschnitt 1.5 vergisst!
In der 2. Auflage heißt es (S. 346)

Aufgrund dieses linearen Begriffs in $U$ , der Hamiltonoperator nicht $T+U$ .

Während in der 3. Auflage (S. 342)

Aufgrund dieses linearen Begriffs in $V$ , der Hamiltonoperator nicht $T+V$ .

Die 2. Auflage ist hier richtig, während die 3. Auflage falsch ist, als Hamiltonian $H$ ist in der Tat die Summe der kinetischen Energie $T$ und die elektrische potentielle Energie $V=q\phi$ . Es scheint, dass der anfängliche Fehler in der 2. Ausgabe einen neuen Fehler in der 3. Ausgabe verursacht hat!

Verweise:

H. Goldstein, Klassische Mechanik, 2. Auflage, p. 346.
H. Goldstein, Klassische Mechanik, 3. Auflage, p. 341-342.

OK, damit ist die Sache geklärt, denke ich. Ist U also nicht die tatsächliche potentielle Energie und V ist die wahre potentielle Energie?
Nun, seien Sie darauf vorbereitet, dass der Advokat des Teufels anderer Meinung darüber sein könnte, was wahre potenzielle Energie ist :-)

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Septakel

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Jahan Claes

QMechaniker

Septakel

QMechaniker

Kaschmir

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