Wenn Lagrange in verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeit trennbar ist, bedeutet das, dass Hamilton gleich der Gesamtenergie ist? [geschlossen]

Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit trennbar meinen, wie auch immer Ihre anfängliche Behauptung ist

Der Hamilton-Operator ist gleich der Gesamtenergie, wenn der Lagrange-Operator zeitunabhängig ist und das Potential nicht von Geschwindigkeiten abhängt

ist generell falsch. Darüber hinaus ist der explizite Ausdruck der kinetischen Energie nicht zerlegbar in die Summe von Produkten verallgemeinerter Koordinaten und ihrer zeitlichen Ableitungen, sondern kann auch einen zusätzlichen Teil haben, der eine Funktion von ist$q$aber nicht von$\dot{q}$. (Beachten Sie, dass ein ähnliches Teil bereits in vorhanden ist$L$und ist durch die potentielle Energie gegeben, hier geht sie stattdessen auch in die kinetische Energie ein).

Betrachten wir als einfachstes Beispiel ein Teilchen$P$von Masse$m>0$gezwungen, sich entlang der zu bewegen$x'$-Achse (ohne Reibung) und mit dem Ursprung durch eine ideale Feder der Konstante verbunden$k>0$. Bezeichne mit$s$die Koordinate von$P$entlang$x'$.

Schließlich davon ausgehen, dass der Rahmen$K'$definiert von$x'y'z'$dreht sich um$z$mit konstanter Winkelgeschwindigkeit$\Omega>0$in Bezug auf ein Trägheitsbezugssystem$K$mit Achsen$xyz$Und$z=z'$.

Es ist leicht zu beweisen, dass die Geschwindigkeit von$P$In$K$Ist

$${\bf v}|_K = s \Omega\left(-\sin (\Omega t) {\bf e}_x + \cos (\Omega t) {\bf e}_y\right)+ \dot{s}(\cos(\Omega t) {\bf e}_x + \sin (\Omega t) {\bf e}_y)$$ damit die kinetische Energie in $K$ist mit trivialen Berechnungen $$T|_K = \frac{m}{2}{\bf v}|_K^2= \frac{m}{2}\left(\dot{s}^2 + s^2\Omega^2\right)\:.$$ Das sieht man hier schon $T|_K$ist nicht trennbar $s$Und $\dot{s}$in dem von dir gemeinten Sinne.

Der Lagrange ist daher

$$L|_K(s, \dot{s}) = \frac{m}{2}\left(\dot{s}^2 + s^2\Omega^2\right) - \frac{k}{2}s^2\:.$$ Selbst wenn $L|_K$keine explizite Funktion der Zeit ist, stimmt die Hamilton-Funktion (die entlang der Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichungen zeitlich konstant ist) nicht mit der Gesamtenergie in überein$K$Jedoch! Tatsächlich ist es so $$H(s, \dot{s}) = \frac{\partial L|_K}{\partial \dot{s}}\dot{s}- L|_K = \frac{m}{2}\dot{s}^2 - \frac{m}{2}s^2\Omega^2\ + \frac{k}{2}s^2$$ während die Energie in $K$Ist $$E|_K(s, \dot{s}) = T|_K + U|_K = \frac{m}{2}\dot{s}^2 + \frac{m}{2}s^2\Omega^2\ + \frac{k}{2}s^2\:.$$ Letztere ist entlang der Lösungen der Bewegungsgleichung nicht konstant.

Die grundlegende zusätzliche Hypothese, die Sie ausgelassen haben, um Ihre beiden behaupteten Ergebnisse zu erhalten, ist die

Die Position der Punkte des Systems im Ruhesystem, das zur Berechnung der Geschwindigkeiten verwendet wird, ist nur eine Funktion von verallgemeinerten Koordinaten und nicht von der Zeit.

In diesem Fall wird die Hypothese verletzt, weil die Position von$P$In$K$liest

$${\bf x}(t,q) = s\cos(\Omega t){\bf e}_x + s\sin(\Omega t){\bf e}_y$$ Wo $t$explizit erscheint.

Zur Bedeutung von$H$im betrachteten Beispiel ist es aber nichts

die Gesamtenergie berechnet in$K'$.

In$K'$, treten neben der Kraft der Feder noch zwei weitere Trägheitskräfte auf: Die Corioliskraft , die keine Rolle spielt, weil genau wie die Reaktionskraft normal auf die Geschwindigkeit des Punktes in steht$K$, und die Zentrifugalkraft , die als abstoßende Feder konstant wirkt$-m\Omega^2$. In der Tat:

$$L|_{K'}(s, \dot{s}) = \frac{m}{2}\dot{s}^2 - \frac{k}{2}s^2 + s^2\Omega^2 = L|_{K}(s, \dot{s})\:.$$ und somit $$H(s, \dot{s}) = \frac{\partial L|_{K'}}{\partial \dot{s}}\dot{s}- L|_{K'} = \frac{m}{2}\dot{s}^2 +\left( \frac{k}{2}s^2 - \frac{m}{2}s^2\Omega^2\right) = T|_{K'}+ U|_{K'} = E|_{K'}(s, \dot{s}).$$

Beachten Sie, dass die kinetische Energie gerecht ist

$$T|_{K'}=\frac{m}{2}\dot{s}^2$$ und somit ist es trennbar, wie Sie behauptet haben. In der Tat die Position von $P$In $K'$ist trivial $t$-unabhängig $${\bf x}(t,s) = s {\bf e}_{x'}\:.$$

Der gesuchte Satz lautet

SATZ (manchmal auch als Satz von Jacobi bekannt) Wenn für ein System, das eine Largangsche Beschreibung zulässt, die Lagrange-Funktion nicht explizit von der Zeit abhängt, dann ist die Hamilton-Funktion entlang der Lösungen von EL zeitlich konstant

Außerdem, wenn im Bezugssystem$K$verwendet, um die Lagrange-Funktion zu konstruieren

(a) alle Kräfte (mit Ausnahme der reaktiven) zulassen potentielle Energie unabhängig von der Zeit und

(b) die Positionen der Punkte der Systeme in$K$sind keine explizite Funktion der Zeit,

dann gelten die folgenden Tatsachen.

(1) Die Hamiltonfunktion fällt mit der Gesamtenergie zusammen.

(2) Kinetische Energie ist trennbar in dem Sinne, dass sie die Form hat (wobei$q =(q^1,\ldots, q^n)$)

$$T|_K(q, \dot{q}) = \sum_{h,k=1}^n a_{hk}(q) \dot{q}^h \dot{q}^k$$ damit die Lagrange-Funktion die Form hat $$L|_k(q, \dot{q}) = \sum_{h,k=1}^n a_{hk}(q) \dot{q}^h \dot{q}^k - U(q)\:,$$ Wo $$a_{hk}(q) = \sum_{i=1}^N\frac{m_i}{2} \frac{\partial {\bf x}_i}{\partial q^h} \cdot \frac{\partial {\bf x}_i}{\partial q^k}$$ Wo $N$ist die Anzahl der Teilchen des Systems mit Massen $m_i$und Positionsvektor ${\bf x}_i={\bf x}_i(q^1,\ldots, q^n)$In $K$, Und $n$die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems.

(3) Die Gesamtenergie ist entlang der Lösungen der EL-Gleichungen konstant.