Hamiltonian und Energie eines geladenen Teilchens in einem elektromagnetischen Feld

Die Lagrangedichte eines geladenen Ladungsteilchens e Bewegung in einem elektromagnetischen Feld ist gegeben durch

L = 1 2 M R ˙ 2 − e ϕ − e A ⋅ v
Wo ϕ ( R , T ) ist das Skalarpotential und A ( R , T ) ist das Vektorpotential. Hier das "Potenzial" U = e ( ϕ − A ⋅ v ) ist geschwindigkeitsabhängig. Der entsprechende Hamiltonoperator ist gegeben durch
H = ( P − e A ) 2 2 M + e ϕ

  1. Ist es möglich, eine Gesamtenergie für das geladene Teilchen zu definieren? Wenn ja, was ist der Ausdruck für Gesamtenergie und ist das eine Bewegungskonstante?

  2. Stimmt der Ausdruck für den Hamiltonoperator mit dem der Gesamtenergie überein? Meine Vermutung ist, dass der Hamilton-Operator die Gesamtenergie nicht darstellen kann, da er nicht eichinvariant ist.

Schauen Sie sich (zum Beispiel) physical.stackexchange.com/q/94699 an
@jim- Ich habe mir den Beitrag angesehen, aber meine Fragen sind anders.
Zu #2: Eine der Voraussetzungen, um den Hamilton-Operator mit der Gesamtenergie zu identifizieren, ist explizit, dass die potentielle Energie unabhängig von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten ist. /Ich habe in letzter Zeit meine Hamilton-Mechanik überprüft ...

Antworten (3)

  1. Für ein Teilchenfeldsystem besteht die einzige Möglichkeit, eine eichinvariante Energie zu definieren, darin, auch die vom Feld getragene Energie in Form des Energie-Impuls-Tensors zu berücksichtigen T μ v in Gegenwart von Anklagen. T μ v ist eine offensichtlich eichinvariante Größe. Um dies abzuleiten, verwenden Sie den Satz von Noether und die Maxwell-Gleichungen in Gegenwart von Ladungen. Dies ergibt eine konservierte Energie für das System

  2. Die Antwort darauf wäre also nein, sie entspricht nicht der Gesamtenergie, da man auch die Feldenergie berücksichtigen muss, um eine Erhaltungsgröße zu erhalten. Intuitiv, wenn wir ein Messgerät wo auswählen ϕ = 0 , dann wird die Änderung der Teilchenenergie durch eine Änderung der von den Feldern getragenen Energie kompensiert. Daraus ergibt sich die gleiche Gesamtenergie für das System.

Es stellt sich heraus, dass für das freie elektromagnetische Feld T 00 = 1 2 ( E 2 + B 2 ) + ∇ ⋅ ( ϕ E ) . Dies ist die Energie, die nur vom Feld getragen wird. Warum sagst du das T μ v ist die Eichung invariant? Können Sie den Ausdruck für die Gesamtenergie des kombinierten Teilchenfeldsystems aufschreiben?
Es stellt sich auch heraus, dass Sie den Energie-Impuls-Tensor so umdefinieren können, dass er eichinvariant ist, indem Sie den Term hinzufügen 1 4 π ∂ μ A v F μ a . Damit bleibt die endgültige Form des Tensors as 1 4 π ( − F v μ F μ a + 1 4 G v a F μ β F μ β ) . Was eichinvariant ist.

Diese Frage wird ausführlich in http://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.12463 untersucht . Die Pointe ist, dass es einen natürlichen Weg gibt, die Gesamtenergie des elektromagnetischen Felds und der Teilchen zusammen zu definieren , aber es gibt keinen einzigen natürlichen Weg, sie zwischen den beiden Beiträgen aufzuteilen.

Dieser Hamiltonoperator stellt bereits die Gesamtenergie des Teilchens dar, ist aber nicht erhalten, weil das Teilchen ein offenes System ist. Das Addieren der Energie des Feldes und der mit der Coulomb-Wechselwirkung verbundenen Teilchen ergibt eine erhaltene Energie für das gesamte geschlossene System aus Teilchen plus Feld

H T Ö T = ∑ ich ( P ich − e ich A ) 2 2 M ich B A R e + 1 2 ∑ ich ∑ J ≠ ich e ich e J 4 π ϵ 0 | R ich − R J | + 1 8 π ∫ D 3 X ( E T 2 + B 2 ) .

Wo M ich B A R e ist die bloße Masse, eine unendliche Größe, die unter Verwendung der "elektromagnetischen Masse" neu normalisiert werden muss, die dem divergenten Vektorpotential zugeordnet ist, und E T ist die Querkomponente des elektrischen Feldes.

Dieser Hamiltonoperator oder Weg, um die Inkonsistenz von Punktladungen mit Poyntings Formeln aufzulösen, ist der in Lehrbüchern wiederholte Standardweg, aber er ist ernsthaft fehlerhaft - obwohl die elektrische Energie durch die Coulomb-Energiesubstitution endlich gemacht wird, ist die magnetische Energie immer noch unendlich. Und e ich A ist nicht definiert - A divergiert an der Stelle, an der sich das Teilchen befindet. Man muss entscheiden, ob man Punktteilchen will, in diesem Fall ist der Feldteil nicht durch Poyntings Ausdrücke gegeben, oder man will Poyntings Ausdrücke, aber dann werden Teilchen zusammengesetzt und die Dinge werden kompliziert.
@JánLalinský die Divergenz im Vektorpotential A wird durch einen in der bloßen Masse enthaltenen Begriff kompensiert juanrga.com/2017/07/…
Diese Art von Bemühungen mit kompensierten Unendlichkeiten ist nicht gut motiviert. Wenn sie kompensieren, warum sie überhaupt einführen? Mathematisch können wir bei dem Modell bleiben, mit dem Sie begonnen haben, dem Hamilton-Operator (4) auf Ihrer Blog-Seite. Es hat jedoch ein anderes Problem; Die Teilcheninteraktion ist nicht korrekt. Bereits die Darwin-Lagrange-Funktion enthält auch einen Term, der von radialen Komponenten der Impulse abhängt, und wir wissen, dass selbst das nicht vollständig mit den Maxwell-Gleichungen übereinstimmt. Außerdem haben Sie in 19 einen logischen Sprung gemacht); Wie kommst du auf das Integral von B 2 ? Für Punktteilchen ist dieses Integral unendlich.
@JánLalinský Ich ziehe es vor, echte Masse und echte Potenziale zu nutzen. Einfach erwähnt, dass die unphysikalische nackte Masse benötigt wird, wenn man das divergente feldtheoretische Potential nutzt. Beachten Sie, dass der Darwin-Term einen 1/2-Faktor in der Wechselwirkung hat, da der Darwin-Hamiltonian die gesamte Wechselwirkung in Modi aufteilt. Das gesamte Integral in (19) ist divergent. Diese Abweichung wird durch kompensiert E S e l F und durch den kinetischen Term. Überprüfen Sie (12).
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