Dirac-Bergmann-Algorithmus endet nicht in (1+1)-dimensionaler U(1)U(1)U(1)-geladener Skalar-QED

Ich versuche, den vollständigen Satz von Einschränkungen zweiter Klasse zu berechnen, die (1 + 1) -dimensional angeben$U(1)$skalare QED nach vollständiger Eichfixierung. (Insbesondere möchte ich die Coulomb verwenden$\partial_1 A_1=0$kombiniert mit Zeitmesser$A_0=0$). Da dies eine abelsche Eichtheorie ist, nehme ich an, dass dies möglich ist. Ich möchte, dass das Modell beschrieben wird, indem periodische Randbedingungen auf den Feldern verwendet werden. (Mit einem Universum von räumlichem Umfang$L$.) Der Dirac-Algorithmus scheint jedoch nicht zu terminieren und die sekundären Einschränkungen häufen sich weiter:

Der Lagrange, den ich verwende, ist

$$L = \int_{-L/2}^{L/2} dx \, \mathcal L = \int_{-L/2}^{L/2} dx \,\left( -\frac 1 4 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + |D_\mu\phi|^2 - V(\phi) \right),$$ mit metrischer Konvention$\eta=\text{diag}(1,-1)$, mit$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$und wo$D_\mu = \partial_\mu-igA_\mu$. Somit,$|D_\mu\phi|^2 = {D_\mu}^* D^\mu = (\partial_\mu+igA_\mu)\phi^*(\partial^\mu-igA^\mu)\phi$). Der Vollständigkeit halber sind die Bewegungsgleichungen (und die Definition des erhaltenen Stroms$J^\mu$, dh$\partial_\mu J^\mu = 0$) Sind: $$\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu \equiv ig((D^\nu\phi)^*\phi - \phi^* D^\nu \phi)$$ $$D_\mu D^\mu \phi = - \frac{\partial V}{\partial \phi} \quad \text{(and its conjugate.)}$$

Von hier an werde ich größtenteils niedrigere Indizes verwenden (und ich werde die Argumente weglassen).

Die Impulse einschließlich unserer primären Einschränkung scheinen (Anmerkung,$\approx$ist Diracs schwache Gleichheit, die besagt, dass dies auf der Einschränkungsfläche gelten muss)

$$\Pi_0 = \frac{\delta \mathcal L}{\delta (\partial_0 A_0)} \approx 0,$$ $$E_1 = \frac{\delta \mathcal L}{\delta (\partial_0 A_1)} = F_{01} = \partial_0 A_1 - \partial_1 A_0,$$ $$\pi^* = \frac{\delta \mathcal L}{\delta (\partial_0 \phi)} = (D_0\phi)^*,$$ $$\pi = \frac{\delta \mathcal L}{\delta (\partial_0 \phi^*)} = D_0\phi.$$

Dies bedeutet, dass unser primärer Hamiltonoperator ist (nachdem wir die Legendre-Transformation durchgeführt und einige Terme durchgestrichen haben)

$$H_p = \int_{-L/2}^{L/2} dx \, \left( \frac 1 2 E_1^2 + |\pi|^2 + |D_1\phi|^2 + V(\phi) + A_0 [J_0-\partial_1 E_1] \right),$$ Wo$J_0 = ig(\pi^* \phi - \pi \phi^*)$. (Von diesem Punkt an gehe ich von gleichen zeitlichen Kommutierungsbeziehungen zwischen den Feldern und ihren Impulsen aus, d.h$\{\phi(x), \pi(y)\} = \delta(x-y)$. Hier$\{\cdot,\cdot\}$ist die Poisson-Klammer.)

Lassen Sie uns nun den (naiven) Dirac-Algorithmus ausführen (ich werde nicht behandeln$A_0$als Lagrange-Multiplikator wird das Gaußsche Gesetz dann unsere sekundäre Nebenbedingung sein). Wir beginnen mit unserer primären Einschränkung$\Gamma_1 \equiv \Pi_0 \approx 0$. Die Beibehaltung dieser zeitlichen Beschränkung gibt uns unsere sekundäre Beschränkung:$\Gamma_2 \equiv \dot \Gamma_1 = \{\Pi_0, H_p\} = J_0-\partial_1 E_1 \approx 0$, was das Gaußsche Gesetz für dieses Modell ist. Seitdem gibt es nach diesem Punkt keine weiteren Einschränkungen$\dot \Gamma_2 = \{\Gamma_2, H_p\} = 0$(stark null, da jeder Term durchgestrichen ist). Diese primäre und sekundäre Einschränkung bilden zusammen einen Satz von zwei erstklassigen Einschränkungen ($\{\Gamma_1, \Gamma_2\} = 0$).

Jetzt fügen wir unsere erste kanonische Maßfixierungsbedingung von Hand als eine weitere Einschränkung hinzu, das Ziel des Hinzufügens dieser weiteren Einschränkungen besteht letztendlich darin, dass der Satz von allen zweitklassig wird (dass jede Einschränkung eine nicht verschwindende Dirac-Klammer mit mindestens einer anderen hat Zwang). Diese erste Bedingung entspricht der Coulomb-Eichbedingung$\Gamma_3 \equiv \partial_1 A_1 = 0$. Bewahrung in der Zeit dieser Beschränkung gibt uns$\Gamma_4 \equiv \dot \Gamma_3 = \{\Gamma_3, H_p\} = \partial_1 E_1 - \partial_1^2 A_0 \approx 0$. Üblicherweise (wie im freien Maxwell in (3+1)-Dimensionen) führt dies zu dem Schluss, dass$A_0 = 0$.

Hier scheint es schief zu gehen: In diesem (1+1)-dimensionalen Modell kann diese Einschränkung (sowie das Gaußsche Gesetz) gelöst werden, das scheint nicht der Fall zu sein$A_0 = 0$überhaupt äquivalent ist (Wie können wir dann die zeitliche Eichbedingung verwenden$A_0=0$?). Noch wichtiger ist, dass dies normalerweise die letzte Einschränkung ist, bei der der Algorithmus endet, wodurch uns vier Einschränkungen zweiter Klasse übrig bleiben. Wenn wir diese Einschränkung jedoch einfach für bare Münze nehmen, müssen wir den Algorithmus fortsetzen und seine Erhaltung in der Zeit berechnen, die nicht zu verschwinden scheint:$\Gamma_5 \equiv \dot \Gamma_4 = \{\Gamma_4, H_p\} = ig \partial_1 J_1 \approx 0$. Mit anderen Worten, diese Einschränkung ist keine Kombination der vorherigen, also müssen wir sie hinzufügen. Wir können zum Beispiel lange so weitermachen und immer mehr Einschränkungen hinzufügen$\Gamma_6 \sim O(g^3)$. Irgendetwas scheint schief zu laufen, aber was ist das?

Ich habe das vage Gefühl, dass dies etwas damit zu tun haben könnte, dass die Nullkomponente der konservierte Strom ist$J_0$enthält eine kovariante Ableitung$D_0$und damit das Feld$A_0$, was nicht passiert wäre, wenn der Skalar beispielsweise durch ein Fermion ersetzt worden wäre.