Verändern primäre Zwangsbedingungen erster Klasse das elektrische Feld in der Hamiltonschen Form der Maxwellschen Theorie?

Das Problem liegt darin, dass das, was wir über die gute alte eingeschränkte Dynamik aus dem traditionellen Dirac-Ansatz lernen, nicht vollständig und irgendwie inkonsistent ist, und das obige ist ein Beispiel dafür. Dies war die Botschaft von Pitts' Artikel , der in der obigen Frage erwähnt wurde und eine Reihe früherer Arbeiten zu genau diesem Thema überprüfte. Ich werde einige Referenzen aus diesem Papier erwähnen, die das Problem verdeutlichen und lösen sollten.

Was falsch ist, ist, dass der Generator der Eichtransformation in einem bestimmten eingeschränkten System keine isolierte Einschränkung erster Klasse ist , sondern eine bestimmte lineare Kombination von Einschränkungen erster Klasse . Das ist es, was das erwähnte Papier von Pitts zu betonen versucht. Irgendwie arbeiteten die Leute seit Diracs Vorlesungsunterlagen mit Trägheit und haben nie bemerkt, dass eine einzige erstklassige Einschränkung keine Spurweitentransformation erzeugt, sondern eine „schlechte Änderung“ (wie Pitts es nennt), wie Sie in Ihrem angegeben haben Frage. Dann kam 1982 Castellani und in seiner Arbeit „Symmetries in constrained systems“ in Annals Phys. 143, p. 357 (1982)formulierte einen Generator von Eichsymmetrien als wohldefinierte lineare Kombination erstklassiger Nebenbedingungen. Dieses Papier ist sehr aufschlussreich und ich empfehle es als Ausgangspunkt, wenn man mit eingeschränkten Systemen beginnt. Dort leitet er einen Algorithmus ab, der die Form eines Eichgenerators bestimmt, und dann leitet er Eichgeneratoren für ein einfaches Spielzeugmodell, für die Allgemeine Relativitätstheorie und für Yang-Mills-Theorien ab (von denen der Elektromagnetismus ein Sonderfall ist, daher gelten die Ergebnisse auch zur obigen Frage). Alle von ihnen sind eine lineare Kombination erstklassiger Beschränkungen .

Es gibt auch eine nette Diskussion und möglicherweise eine sehr detaillierte Antwort auf die genaue Frage, die oben gepostet wurde, in einem Artikel von Pons sowie in Sundermeyers Buch „ Symmetries in Fundamental Physics “.

Die Quintessenz ist: isolierte Beschränkungen erster Klasse (primär oder sekundär oder tertiär ...) erzeugen im Allgemeinen keine Eichtransformationen. Aber sie sind jeweils Teil eines Eichgenerators, der als lineare Kombination dieser Einschränkungen definiert ist.

Das grundlegende Problem dabei ist, dass viele Leute, und auch Pitts in seinem Aufsatz, nicht darauf achten, von welcher Theorie sie gerade sprechen. "Quantization of Gauge Systems" von Henneaux und Teitelboim ist eigentlich vorsichtig damit, und ihr Kapitel 3 zeigt die korrekte Lösung dieses Problems, auch wenn Pitts es als Beispiel für diejenigen anführt, die das Problem nicht erkennen.

Die Behauptung „erstklassige Constraints erzeugen Gauge-Transformationen“ steht im Kontext der erweiterten Aktion

$$S_E[q^i, p_i, \lambda^i] = \int \left(p_i \dot{q}^i - H - \lambda^i \gamma_i\right)\mathrm{d}t,$$

bei dem die$\gamma_i$sind die erstklassigen Einschränkungen,$\lambda^i$die Lagrange-Multiplikatoren erzwingen die Beschränkungen, und der Einfachheit halber nehmen wir an, dass es keine Beschränkungen zweiter Klasse gibt (wie es im Beispiel des Elektromagnetismus der Fall ist). In dieser Formulierung sind Lösungen der Bewegungsgleichungen Tupel$(q(t), p(t), \lambda(t))$, und Symmetrien wirken auf all diese dynamischen Variablen. Die erweiterte Aktion ist unter der infinitesimalen lokalen Transformation unveränderlich$\delta_{\epsilon} F = \epsilon^i \{F,\gamma_i\}$für$F(q,p)$jede Funktion der$q$Und$p$nur wenn man zusätzlich die Lagrange-Multiplikatoren wie transformieren lässt

$$\delta_{\epsilon}\lambda^i = \dot{\epsilon}^i + {C^i}_{jk}\lambda^j\epsilon^k,$$

Wo$\{\gamma_i,\gamma_j\} = {C^k}_{ij}\gamma_k$. Dieser Satz von Symmetrien reduziert sich auf die Symmetrien der nicht erweiterten (kanonischen) Aktion

$$S_C[q^i,p_i,\bar{\lambda}^i] = \int \left(p_i \dot{q}^i - H - \lambda^{i'} \gamma_{i'}\right),$$ bei dem die$i'$index läuft nun nur noch über die primären Constraints, erst nach Auferlegung der Eichbedingungen$\lambda^j = 0$für alle$j$Wo$\gamma_j$ist nicht primär. Es sind die Symmetrien der kanonischen Aktion, nicht der erweiterten Aktion, die sich direkt in Symmetrien der ursprünglichen Lagrange-Aktion übersetzen. Die verbleibenden Eichsymmetrien dieser Aktion sind diejenigen, die die Bedingungen erhalten$\lambda^j = 0$für die Nicht-Primärzahlen und werden im Allgemeinen durch eine spezifische Teilmenge von Kombinationen der erstklassigen Beschränkungen erzeugt, die andere Quellen als Eichgenerator(en) bezeichnen.

Für das konkrete Beispiel, über das sich Pitts beschwert, sind die Eichtransformationen der erweiterten Wirkung der freien Elektrodynamik (siehe auch Kapitel 19 von H/T):

$$\begin{align} \delta A_0 & = \epsilon^1 & \delta A_i & = \partial_i\epsilon^2 \\ \delta \lambda^1 & = \dot{\epsilon}^1& \delta\lambda^2 & = \dot{\epsilon}^2 - \epsilon^1 \end{align}$$ für zwei beliebige Funktionen der Raumzeit$\epsilon^1, \epsilon^2$. Die Erhaltung des Lehrenzustandes$\lambda^2 = 0$auferlegt$\epsilon^1 = \dot{\epsilon^2}$, also bleibt die Rest-Eichsymmetrie übrig $$\delta A_\mu = \partial_\mu \epsilon^2 \quad \delta \lambda^1 = \ddot{\epsilon}^2,$$ die nun die bekannte Form für eine Eichtransformation des 4-Potentials hat$A_\mu$der Lagrangeschen Elektrodynamik.

Was die Leute zu stolpern scheint, ist die Quantität im erweiterten Formalismus$E^i = F^{0i} = \partial^0 A^i - \partial^i A^0$, das sie als elektrisches Feld identifizieren möchten, ist unter Transformationen mit eichvariant$\epsilon^1 \neq \dot{\epsilon}^2$. Wie kann die erweiterte Theorie unserem realen, physikalischen System "treu" sein, wenn sie eich-invariante Größen in eich-variante umwandelt?

Um zu sehen, wie, lassen Sie uns die Änderung von untersuchen$E^i$unter einer willkürlichen Transformation:

$$\begin{align} \delta E_i & = \partial_0 \delta A_i - \partial_i \delta A_0 \\ & = \partial_i (\dot{\epsilon}^2 - \epsilon^1) \end{align}$$ Wir stellen fest, dass dies genau die räumliche Ableitung des Transformationsverhaltens ist$\lambda^2$, das bedeutet also$E^i - \partial^i\lambda^2$ist eine eichinvariante Observable, die in die Residual-Eichinvariante übergeht$E^i$bei Verwendung des Messgeräts Zustand$\lambda^2 = 0$. Die erweiterte Theorie enthält also eine eichinvariante Observable, nämlich das elektrische Feld, nur dass ihr Ausdruck die Hilfsvariable enthält$\lambda^2$die wir eliminieren müssen, um zu sehen, ob diese Theorie der Lagrange-Theorie entspricht, die nichts über die weiß$\lambda^i$.