Reduktion der Nambu-Goto-Aktion auf wahre Freiheitsgrade

Hier ist ein Überblick über die Reduktion von der Nambu-Goto (NG)-Wirkung auf die Lichtkegel (LC)-Formulierung aus einer Hamilton-Perspektive:

1. Ausgangspunkt ist die Hamiltonsche Formulierung des NG-Strings, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Der Hamilton-Operator hat die Form "Lagrange-Multiplikatoren mal Nebenbedingungen".$^1$

   $$H~:=~\int_0^{\ell}\! d\sigma~{\cal H}, \qquad {\cal H}~=~\lambda^{\alpha} \chi_{\alpha}, \qquad \alpha~\in~\{0,1\}.\tag{1}$$

2. Die beiden erstklassigen Einschränkungen lauten

   $$\chi_0~:=~P\cdot X^{\prime}~\approx~0, \qquad \chi_1~:=~\frac{P^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~\approx~0.\tag{2}$$ Die beiden erstklassigen Einschränkungen$\chi_{\alpha}$stammen aus (und erzeugen) der World-Sheet (WS) Reparametrisierungsinvarianz der Nambu-Goto-Aktion.

3. Der entsprechende Hamiltonian Lagrangeian lautet dann$^1$

   $$L_H~:=~\int_0^{\ell}\! d\sigma~{\cal L}_H, \qquad {\cal L}_H ~:=~ P\cdot \dot{X}-{\cal H} . \tag{3}$$ Die Euler-Lagrange-Gleichungen. für die Hamilton-Lagrange-Funktion (3) sind die Hamilton-Gl. $$\dot{X}^{\mu}~\approx~\lambda^0X^{\mu\prime}+ \frac{\lambda^1}{T_0}P^{\mu},\qquad \dot{P}^{\mu}~\approx~\left(\lambda^0 P^{\mu}+ T_0\lambda^1 X^{\mu\prime}\right)^{\prime},\tag{4}$$ zusammen mit den beiden Einschränkungen (2).

4. Wir verwenden Lichtkegelkoordinaten (LC).

   $$X^{\pm}~:=~\frac{X^0\pm X^1}{\sqrt{2}} ,\tag{5}$$ und Minkowski-Metrik $$\eta_{\mu\nu} ~dX^{\mu}~ dX^{\nu} ~=~ -(dX^0)^2 + (dX^1)^2 + (dX^{\perp})^2$$ $$~=~ -2dX^+dX^- + (dX^{\perp})^2,\tag{6}$$ im Zielraum (TS). [Der$\perp$Symbol bezeichnet transversale Koordinaten.]

5. Wir fixieren die Eichsymmetrie, indem wir zwei entsprechende Eichfixierbedingungen auferlegen

   $$X^+(\tau,\sigma)~=~f(p^+(\tau))\tau\qquad\text{and}\qquad P^+(\tau,\sigma)~=~p^+(\tau), \tag{7}$$ dh die LC-Anzeige , wo$f>0$ist eine positive Funktion, die normalerweise als lineare oder konstante Funktion angesehen wird. Wir haben der Einfachheit halber eine konventionelle multiplikative Konstante in der Bedingung (7b) weggelassen.

6. Im LC-Messgerät (7) wird die Hamilton-Lagrange-Dichte (3) angezeigt

   $${\cal L}_H ~=~P\cdot \dot{X} -\lambda^0\left\{-X^{-\prime} p^+ +\chi^{\perp}_0 \right\} -\lambda^1\chi_1$$ $$~\sim~P\cdot \dot{X} - \lambda^{0 \prime} X^- p^+ -\lambda^0\chi^{\perp}_0 -\lambda^1 \left\{-\frac{p^+ P^-}{T_0} + \chi^{\perp}_1\right\}. \tag{8}$$ Der$\sim$Symbol bedeutet hier gleiche Modulo-Gesamtableitungsterme. Außerdem haben wir die hoffentlich natürliche Kurzschreibweise eingeführt $$\chi^{\perp}_0~:=~P^{\perp}\cdot X^{\perp\prime}, \qquad \chi^{\perp}_1~:=~\frac{(P^{\perp})^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\perp\prime})^2.\tag{9}$$

7. Als nächstes zerlegen Sie die beiden Koordinaten$X^-$Und$P^-$in Mittelwertkoordinaten

   $$x^-(\tau)~:=~ \frac{1}{\ell}\int_0^{\ell}\! d\sigma~X^-(\tau,\sigma),\qquad p^-(\tau)~:=~ \frac{1}{\ell}\int_0^{\ell}\! d\sigma~P^-(\tau,\sigma),\tag{10}$$ und Koordinaten $$Y^-~:=~X^- - x^-,\qquad R^-~:=~P^- - p^-,\tag{11}$$ mit null Mitteln.

8. Der kinetische Term in der Hamilton-Lagrange-Funktion (8) vereinfacht sich zu

   $$\int_0^{\ell}\! d\sigma~P\cdot \dot{X} ~=~\int_0^{\ell}\!d\sigma\left\{\left(-f(p^+)-\tau\frac{df(p^+)}{d\tau}\right) P^- -p^+\dot{X}^- + P^{\perp}\cdot \dot{X}^{\perp}\right\}$$ $$~=~- \ell f(p^+)p^- - \ell p^+\dot{x}^- +\int_0^{\ell}\!d\sigma~ P^{\perp}\cdot \dot{X}^{\perp}.\tag{12}$$ In der letzten Gleichheit von (12) haben wir den Term weggelassen$\frac{df(p^+)}{d\tau}$, Weil$p^+$ist eine Bewegungskonstante, da$x^-$ist eine zyklische Koordinate (im Sinne von Hamilton), vgl. Gl. (16) unten.

9. Beachten Sie, dass in der Hamilton-Lagrange-Funktion (8) die Variablen$Y^-$Und$R^-$nur jeweils an einer Stelle im Inneren auftauchen$X^-$Und$P^-$, bzw. Integration vorbei$Y^-$Und$R^-$impliziert, dass

   $$\lambda^{0 \prime\prime}~\approx~ 0 \quad\text{and}\quad \lambda^{1 \prime}~\approx~ 0,\tag{13}$$ bzw. Zum Verständnis der zusätzlichen Ableitungen in Gl. (13), siehe z. B. diesen Phys.SE-Beitrag für das analoge Argument für die Polyakov-Saitenwirkung. Entsprechende Rand-/Periodizitätsbedingungen implizieren dies dann $$\lambda^{0 \prime}~\approx~ 0.\tag{14}$$ Also die beiden Lagrange-Multiplikatoren$\lambda^0$Und$\lambda^1$sind globale Konstanten.

10. Integration über die Konstante$\lambda^1$-Modus erzwingt die LC-Energiebedingung (2b)

    $$p^- ~\approx~ \frac{T_0}{p^+\ell}\int_0^{\ell}\! d\sigma ~\chi^{\perp}_1,\qquad \chi^{\perp}_1~:=~\frac{(P^{\perp})^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\perp\prime})^2.\tag{15}$$ Dann$p^-$ist keine unabhängige Variable mehr. Der LC Hamiltonian liest $$H^{LC}~:=~f(p^+)\ell p^-+\lambda^0 \int_0^{\ell}\! d\sigma~\chi^{\perp}_0 ~=~\int_0^{\ell}\! d\sigma~{\cal H}^{LC}, \tag{16}$$ $${\cal H}^{LC}~:=~\lambda^0\chi^{\perp}_0 +T_0\frac{f(p^+)}{p^+} \chi^{\perp}_1.\tag{17}$$ Es ist verlockend, die (möglicherweise verwirrende) Kurzschreibweise einzuführen $$\lambda^1~:=~T_0\frac{f(p^+)}{p^+}~>~0 \tag{18}$$ in Gl. (17), so dass der LC-Hamiltonoperator (17) oberflächlich dieselbe Form hat wie der ursprüngliche Hamiltonoperator (1). Der$\lambda^1$in Gl. (18) sollte nicht mit dem Nullmodus des Lagrange-Multiplikators verwechselt werden$\lambda^1$, die zu diesem Zeitpunkt integriert wurde.

11. Der eichungsfixierte LC-Hamiltonian-Lagrangian wird dann

    $$L^{LC}_H~=~ - \ell p^+\dot{x}^- +\int_0^{\ell}\!d\sigma~ P^{\perp}\cdot \dot{X}^{\perp} - H^{LC},\tag{19}$$ wo der LC Hamiltonian$H^{LC}$ist in Gl. (16). Die verbleibenden dynamischen Variablen sind die transversalen Variablen$X^{\perp}$Und$P^{\perp}$und die Nullmodi$x^-$Und$p^+$. Die fundamentalen Poisson-Klammern ungleich Null lauten $$\{x^-, p^+\}_{PB}~=~-\frac{1}{\ell}, \qquad \{X^{\mu\perp}(\sigma), P^{\perp}_{\nu}(\sigma^{\prime})\}_{PB}~=~\delta^{\mu}_{\nu}\delta(\sigma-\sigma^{\prime}).\tag{20}$$ Dies beantwortet die Frage von OP nach den wahren Freiheitsgraden. Darüber hinaus gibt es einen Zero-Mode-Lagrange-Multiplikator$\lambda^0$, weiter unten zu diskutieren.

12. Lassen Sie uns nun die Rolle des Lagrange-Multiplikators im Nullmodus diskutieren$\lambda^0$. Für den offenen String mit freien Enden sollten wir Neumann-Randbedingungen auferlegen

    $$\frac{\partial{\cal L}_H}{\partial X^{\prime}_{\mu}}~=~0\quad\text{for}\quad \sigma~\in~\{0,\ell\}, \tag{21}$$ was für die Koordinate$\mu=+$implizieren, dass der konstante Modus$\lambda^0=0$muss verschwinden (ggf$p^+\neq 0$).

13. Für den Rest dieser Antwort werden wir die geschlossene Zeichenfolge besprechen. Integration über den Lagrange-Multiplikator im konstanten Modus$\lambda^0$erlegt die sogenannte Level-Matching Constraint/Condition (LMC) auf

    $$\int_0^{\ell}\!d\sigma~\chi^{\perp}_0~\approx~0, \qquad \chi^{\perp}_0~:=~P^{\perp}\cdot X^{\perp\prime}. \tag{22}$$ Umgekehrt würde eine Integration über eine bestimmte transversale Saitenmode einen (Quanten-)Mittelwert zuordnen$\lambda^0$. Um jedoch ein schönes, sauberes klassisches Bild zu erhalten, vgl. eoms (23) unten ziehen wir es vor, die Integrationen über einen bestimmten transversalen Stringmodus und den Nullmodus hinauszuschieben$\lambda^0$für später.

14. Die Gl. von LC Hamilton. lesen

    $$\dot{X}^{\perp}~\approx~\lambda^0X^{\perp\prime}+ \frac{\lambda^1}{T_0}P^{\perp},\qquad \dot{P}^{\perp}~\approx~\lambda^0P^{\perp\prime}+ T_0\lambda^1X^{\perp\prime\prime},\tag{23}$$ Wo$\lambda^1$ist durch Gl. (18). Eliminierung der Transversalimpulse$P^{\perp}$Erträge $$\ddot{X}^{\perp}-2\lambda^0 \dot{X}^{\perp\prime} + (\lambda^0+\lambda^1)(\lambda^0-\lambda^1) X^{\perp\prime\prime}~\approx~0. \tag{24}$$

15. Lassen Sie uns neue WS-Koordinaten einführen

    $$\sigma^{\pm}~:=~ \sigma \pm \lambda^{\pm}\tau ~\equiv~(\sigma + \lambda^0\tau) \pm \lambda^1\tau, \qquad \lambda^{\pm}~:=~\lambda^1\pm \lambda^0, \tag{25}$$ entlang der Eigenschaften der PDE (24). Die Gl. von LC Hamilton. (23) werden $$P^{\perp}~\approx~T_0(\partial_+ - \partial_-)X^{\perp},\qquad (\partial_+ - \partial_-)P^{\perp}~\approx~T_0(\partial_+ + \partial_-)^2X^{\perp}.\tag{26}$$ Das eom (24) faktorisiert $$\partial_+\partial_-X^{\perp}~\approx~0, \tag{27}$$ wobei die vollständige Lösung eine Summe aus einem Links- und einem Rechtsbeweger ist $$X^{\perp}~\approx~ X^{\perp}_L(\sigma^+)+X^{\perp}_R(\sigma^-). \tag{28}$$ Periodizitätsbedingungen stellen an Links- und Rechtsbeweger weitere Bedingungen, vgl. Ref. 1-5.

16. Auf der Schale wird der LC Hamiltonian (16).

    $$H^{LC}~\approx~T_0\int_0^{\ell}\! d\sigma\left[\lambda^+(\partial_+X_L^{\perp})^2 + \lambda^-(\partial_-X_R^{\perp})^2 \right]$$ $$~=~T_0\int_0^{\ell}\! d\sigma\left[ \lambda^0 \left\{(\partial_+X_L^{\perp})^2-(\partial_-X_R^{\perp})^2\right\} + \lambda^1 \left\{(\partial_+X_L^{\perp}\}^2+(\partial_-X_R^{\perp})^2\right\}\right],\tag{29}$$ Wo$\lambda^1$ist durch Gl. (18). Beachten Sie, dass die implizite Abhängigkeit von$\lambda^0$in Gl. (29) erscheint immer in der Kombination$\sigma + \lambda^0\tau$[aufgrund der neuen WS-Koordinaten$\sigma^{\pm}$, vgl. Gl. (25)]. Da ist die Zeichenfolge$\ell$-periodisch, können wir die verschieben$\sigma$-Integration in LC Hamiltonian (29), um das Implizite loszuwerden$\lambda^0$-Abhängigkeit. Und so kam es dass der$\lambda^0$vor dem LMC (22) ist das einzig eigentliche$\lambda^0$-Abhängigkeit, wie es sein sollte. Integration vorbei$\lambda^0$erzwingt die LMC (22).

17. Kommen wir zum Schluss auf die Frage von OP zurück. Klassisch die orthogonale Bedingung

    $$\dot{X}\cdot X^{\prime}~\approx~0,\tag{30}$$ nach dem OP fragt, entspricht der Auswahl des Nullmodus$\lambda^0=0$Null sein, vgl. Gl. (2a) und (4a). Das passiert in der offenen Saite. In den geschlossenen String sollen wir über integrieren$\lambda^0$. Wir können jedoch davonkommen, in a zu arbeiten$\lambda^0=0$"gauge", wenn wir zusätzlich die Level-Matching-Einschränkung (22) von Hand auferlegen. Dieser letztere Ansatz wird oft in Lehrbüchern zur Stringtheorie verwendet.

Verweise:

1. B. Zwiebach, A first course in String Theory, 2. Auflage, 2009.

2. J. Polchinski, Stringtheorie, Bd. 1, 1998.

3. R. Blumenhagen, D. Lust und S. Theisen, Grundkonzepte der Stringtheorie, 2012.

4. K. Sundermeyer, Constrained Dynamics, Lecture Notes in Physics 169, 1982.

5. M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994.

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$^1$Hier ist ein Beweis dafür, dass unser Ausgangspunkt in dieser Antwort, der Hamiltonsche Lagrange (3), die NG-Saite zumindest klassisch beschreibt. Integrieren wir das heraus$P^{\mu}$Impulse in der Hamilton-Lagrange-Funktion (3) erhalten wir die Lagrange-Dichte$^2$

$${\cal L}~=~T_0\frac{\left(\dot{X}-\lambda^0 X^{\prime}\right)^2}{2\lambda^1} -\frac{T_0\lambda^1}{2} (X^{\prime})^2.\tag{i}$$

Als nächstes werden die Hilfsvariablen herausintegriert$\lambda^0$führt zu

$$\left. {\cal L}\right|_{\lambda_0} ~=~-\frac{T_0{\cal L}_{(1)}}{2(X^{\prime})^2\lambda^1} -\frac{T_0\lambda^1}{2}(X^{\prime})^2,\tag{ii}$$ Wo $${\cal L}_{(1)}~:=~-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta} ~=~(\dot{X}\cdot X^{\prime})^2-\dot{X}^2(X^{\prime})^2~\geq~ 0.\tag{iii}$$

Endlich ausgliedern

$$\lambda^1~>~0 \tag{iv}$$

ergibt dann die Standard-NG-Lagrange-Dichte

$${\cal L}_{NG}~:=~-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}. \tag{v}$$

[Wir haben angenommen, dass die Hilfsvariable$\lambda^1>0$positiv ist (iv), um einen negativen Quadratwurzelzweig loszuwerden. Es ist zwingend erforderlich, dass der negative Quadratwurzelzweig nicht vorhanden ist. Nach der Wick-Rotation würde dies zu einem instabilen exponentiell wachsenden (und nicht zu einem exponentiell unterdrückten) Boltzmann-Faktor führen. ] Umgekehrt, wenn wir die Lagrange-Dichte (i) Legendre-transformieren, erhalten wir die Hamilton-Dichte (1) zurück, vgl. meine Phys.SE hier . Darüber hinaus sollten wir die bekannte Tatsache erwähnen, dass, wenn wir die vollständige WS-Metrik integrieren$h_{\alpha\beta}$in der Polyakov-Lagrange-Dichte

$${\cal L}_P~=~-\frac{T_0}{2} \sqrt{-h} h^{\alpha\beta} \partial_{\alpha}X \cdot\partial_{\beta}X ~=~\frac{T_0}{2} \left\{\frac{\left(h_{\sigma\sigma}\dot{X}- h_{\tau\sigma}X^{\prime}\right)^2}{\sqrt{-h}h_{\sigma\sigma}} - \frac{ \sqrt{-h}}{h_{\sigma\sigma}}(X^{\prime})^2 \right\}, \tag{vi}$$

dann erhalten wir die Standard-NG-Lagrange-Dichte (v), vgl. dieser Phys.SE-Beitrag. [Wir wählen den Ast für die Quadratwurzel$\sqrt{-h}$das hat das gleiche Vorzeichen wie$h_{\sigma\sigma}$um den kinetischen Term zu bilden$\dot{X}^2$positiv definit.] Umgekehrt kann die Polyakov-Lagrange-Dichte (vi) aus der Polyakov (P) De Donder-Weyl (DDW)-Lagrange-Dichte abgeleitet werden

$$\begin{align}{\cal L}_{P,DDW}~=~&P^{\alpha} \cdot \partial_{\alpha}X +\frac{h_{\alpha\beta}P^{\alpha}\cdot P^{\beta}}{2T_0\sqrt{-h}} \cr ~=~& P^{\tau}\cdot \dot{X} +P^{\sigma}\cdot X^{\prime}+ \frac{(P^{\sigma} + \lambda^0 P^{\tau})^2}{2T_0 \lambda^1} - \frac{\lambda^1}{2T_0} (P^{\tau})^2\end{align} \tag{vii}$$

indem man die Polymomente herausintegriert$P^{\alpha}=(P^{\tau};P^{\sigma})$. Siehe auch zB meine Phys.SE-Antwort hier . In der zweiten Gleichheit von Gl. (vii) haben wir identifiziert

$$\lambda^0~=~\frac{h_{\tau\sigma}}{h_{\sigma\sigma}} ~=~-\frac{h^{\tau\sigma}}{h^{\tau\tau}},$$ $$\lambda^1~=~\frac{\sqrt{-h}}{h_{\sigma\sigma}} ~=~ \frac{-1}{\sqrt{-h}h^{\tau\tau}}~\geq~0 \quad\Leftrightarrow\quad h~:=~\det\left(h_{\alpha\beta}\right)_{\alpha\beta}~=~-\left(\lambda^1 h_{\sigma\sigma}\right)^2~\leq~0 . \tag{viii}$$

In ähnlicher Weise ist im Lagrange-Bild die Polyakov-Lagrange-Dichte (vi) gleich der Lagrange-Dichte (i) unter der Identifikation (viii). Der Punkt ist, dass nur 2 der 3 Freiheitsgrade in der WS-Metrik vorhanden sind$h_{\alpha\beta}$Geben Sie die Polyakov-Aktion aufgrund der Weyl-Symmetrie auf dem klassischen Niveau ein. Daher die WS-Metrik$h_{\alpha\beta}$kann durch nur 2 Variablen ersetzt werden$\lambda^0$Und$\lambda^1$. Die Korrespondenz (vi)$\leftrightarrow$(i) stellt eine verfeinerte Äquivalenz zwischen der Polyakov- und der Nambu-Goto-Lagrange-Formulierung her, als nur die vollständige WS-Metrik zu integrieren$h_{\alpha\beta}$durch rohe Gewalt.

Schließlich, wenn wir nur heraus integrieren

$$P^{\sigma}~\approx~-T_0\lambda^1X^{\prime}-\lambda^0P^{\tau}\tag{ix}$$

in der Polyakov-De-Donder-Weyl-Lagrange-Dichte (vii), aber behalte die$P^{\tau}\equiv P$Variable, dann wird die Polyakov-De-Donder-Weyl-Lagrange-Dichte (vii) zur Hamilton-Lagrange-Dichte (3), dh unser Ausgangspunkt in dieser Antwort. Dies zeigt, dass die Nambu-Goto- und die Polyakov-Hamiltonian-Formulierung äquivalent sind, vgl. dieser Phys.SE-Beitrag.

$^2$Die Gaußsche Integration über die Hilfsvariable$\lambda^0\equiv \lambda^0_M$sieht in der Minkowski-Signatur naiv instabil aus. Man sollte Wick drehen$\tau_E=i\tau_M$zur euklidischen Signatur, um eine Lagrange-Dichte zu erhalten$-{\cal L}_M={\cal L}_E>0$von unten begrenzt mit$-i\lambda^0_M=\lambda^0_E\in\mathbb{R}$. Mit anderen Worten, das Produkt$\lambda^0_M\tau_M=\lambda^0_E\tau_E$sollte unter Wick-Rotation invariant bleiben.