Wie findet man den Rang der Matrix ∂2L∂Xμ˙∂Xν˙∂2L∂Xμ˙∂Xν˙\frac{\partial ^2\mathcal{L}}{\partial \dot{X^\mu} \partial \dot{X^\nu} } für den Nambu-Goto-String Lagrange?

I) In dieser Antwort betrachten wir den Standard-Nambu-Goto (NG)-String und zeigen, dass der hessische Co-Rang 2 hat. Die Target Space (TS)-Metrik$G_{\mu\nu}(X)$hat Vorzeichenkonvention$(-,+,\ldots,+)$, Und$c=1=\hbar$. Die NG-Lagrange-Dichte ist

$$\begin{align}{\cal L}_{NG} ~:=~&-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}, \cr {\cal L}_{(1)}~:=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta}\cr ~=~&-\det\begin{pmatrix}a &c \cr c & d \end{pmatrix}\cr ~=~& c^2-a d\geq 0,\cr a~:=~&\dot{X}^2~\leq~0,\cr c~:=~&\dot{X}\cdot X^{\prime} ,\cr d~:=~&(X^{\prime})^2~>~0.\end{align}\tag{1}$$ Die Ungleichheit${\cal L}_{(1)}\geq 0$wird z. B. in Ref. erläutert. 1. Wir werden im Folgenden nur reguläre Weltblattpunkte betrachten, wo $${\cal L}_{(1)}~>~0\tag{2}$$ ist absolut positiv.

II) Momente sind

$$\begin{align} P_{(1)\mu} ~:=~&\frac{\partial {\cal L}_{(1)}}{\partial \dot{X}^{\mu}}\cr ~=~& 2c X^{\prime}_{\mu} -2 d \dot{X}_{\mu} , \cr P_{(1)}\cdot \dot{X}~=~&2{\cal L}_{(1)},\end{align}\tag{3}$$ $$P_{\mu} ~:=~\frac{\partial {\cal L}_{NG}}{\partial \dot{X}^{\mu}} ~=~ -\frac{T_0}{2{\cal L}_{(1)}^{\frac{1}{2}}} P_{(1)\mu}. \tag{4}$$

III) Die ursprüngliche Hamiltonsche Dichte verschwindet identisch

$${\cal H}_0~:=~ P\cdot \dot{X} - {\cal L}_{NG}~=~0 , \tag{5}$$

wie wir es für eine reparametrisierungsinvariante Theorie erwarten würden. Dies bedeutet, dass es keine sekundären Einschränkungen geben wird , unabhängig davon, welche primären Einschränkungen vorhanden sind. Wir finden zwei Hauptbeschränkungen

$$P_{(1)}\cdot X^{\prime} ~=~0 \quad\Rightarrow \quad \chi_0~:=~P\cdot X^{\prime} ~=~0,\tag{6}$$

$$P_{(1)}^2~=~ -4d {\cal L}_{(1)}\quad\Rightarrow \quad \chi_1~:=~\frac{P^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~=~0.\tag{7}$$

Die beiden primären Nebenbedingungen (6) & (7) bilden dann eine Poisson-Algebra erster Klasse

$$\begin{align}\{\chi_0(\sigma),\chi_0(\sigma^{\prime})\}_{PB} ~=~&\left[ \chi_0(\sigma)+\chi_0(\sigma^{\prime})\right] \delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime})\cr ~=~&\{\chi_1(\sigma),\chi_1(\sigma^{\prime})\}_{PB},\cr \{\chi_0(\sigma),\chi_1(\sigma^{\prime})\}_{PB} ~=~&\left[ \chi_1(\sigma)+\chi_1(\sigma^{\prime})\right] \delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime}). \end{align}\tag{8}$$

Äquivalent, wenn wir definieren

$$\chi_{\pm} ~:=~ \frac{\chi_1\pm\chi_0}{2} ~=~ T_0Y_{\pm}^2 ,\tag{9}$$

mit

$$\begin{align} Y^{\mu}_{\pm} ~:=~&\frac{1}{2T_0}P^{\mu}\pm\frac{1}{2}X^{\mu\prime},\cr Y_{\pm,\mu}~:=~&G_{\mu\lambda}Y^{\lambda}_{\pm}\cr ~=~&\frac{1}{2T_0}P_{\mu}\pm\frac{1}{2}G_{\mu\lambda}X^{\lambda\prime}, \end{align}\tag{10}$$

was befriedigt

$$\begin{align} \{Y_{\pm,\mu}& (\sigma), Y_{\pm^{\prime},\nu}(\sigma^{\prime})\}_{PB}\cr ~=~& \frac{1}{4T_0}\left[ \pm G_{\mu\nu}(\sigma)\pm^{\prime} G_{\mu\nu}(\sigma^{\prime})\right]\delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime}) \cr &+\frac{1}{4T_0}\left[\pm \partial_{\nu}G_{\mu\lambda}\mp^{\prime}\partial_{\mu}G_{\nu\lambda}\right]X^{\lambda\prime} \delta(\sigma-\sigma^{\prime}) \cr ~=~& \frac{\pm 1 \pm^{\prime} 1}{4T_0}\left[ G_{\mu\nu}(\sigma) + G_{\mu\nu}(\sigma^{\prime})\right]\delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime})\cr & - \frac{\pm 1 \pm^{\prime} 1}{8T_0}\Gamma_{[\mu,\nu]\lambda}X^{\lambda\prime} \delta(\sigma-\sigma^{\prime})\cr & + \frac{\pm 1 \mp^{\prime} 1}{4T_0}X^{\lambda\prime} \Gamma_{\lambda,\mu\nu} \delta(\sigma-\sigma^{\prime}), \end{align}\tag{11}$$

dann erhalten wir klassischerweise eine direkte Summe von zwei Kopien der Witt-Algebra

$$\begin{align}\{\chi_{\pm}(\sigma),&\chi_{\pm^{\prime}}(\sigma^{\prime})\}_{PB}\cr~=~& \frac{\pm 1 \pm^{\prime} 1}{2} \left[ \chi_{\pm}(\sigma)+\chi_{\pm^{\prime}}(\sigma^{\prime})\right] \delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime}).\end{align} \tag{12}$$

Beachten Sie insbesondere, dass die$+$und das$-$Sektor in Gl. (12) Poisson pendelt sich gegenseitig ein! Die gesamte Hamilton-Dichte hat die Form "Lagrange-Multiplikatoren mal Einschränkungen".

$${\cal H}~=~\lambda^{\alpha} \chi_{\alpha}, \qquad \alpha~\in~\{0,1\} .\tag{13}$$

IV) Das Hessische liest

$$H_{(1)\mu\nu}~:=~\frac{\partial^2 {\cal L}_{(1)}}{\partial \dot{X}^{\mu}\partial \dot{X}^{\nu}} ~=~2 X^{\prime}_{\mu}X^{\prime}_{\nu} -2d G_{\mu\nu}\tag{14} ,$$

$$H_{(1)\mu\nu}X^{\prime\nu}~=~0, \qquad H_{(1)\mu\nu}\dot{X}^{\nu}~=~P_{(1)\mu},\tag{15}$$

$$\begin{align} H_{\mu\nu}~:=~& \frac{\partial^2 {\cal L}_{NG}}{\partial \dot{X}^{\mu}\partial \dot{X}^{\nu}}\cr ~=~&-\frac{T_0}{2{\cal L}_{(1)}^{\frac{1}{2}}}H_{(1)\mu\nu}+\frac{T_0}{4{\cal L}_{(1)}^{\frac{3}{2}}}P_{(1)\mu}P_{(1)\nu}\end{align}\tag{16} ,$$ $$\begin{align} -\frac{{\cal L}_{(1)}^{\frac{3}{2}}}{T_0}H_{\mu\nu} ~=~&\frac{1}{2}{\cal L}_{(1)}H_{(1)\mu\nu}+\frac{1}{4}P_{(1)\mu}P_{(1)\nu}\cr ~=~& (c^2-ad)(X^{\prime}_{\mu}X^{\prime}_{\nu} -d G_{\mu\nu})\cr &- (c X^{\prime}_{\mu} -d \dot{X}_{\mu})(c X^{\prime}_{\nu} -d \dot{X}_{\nu}).\end{align}\tag{17}$$

V) Das ist leicht zu überprüfen$\dot{X}$Und$X^{\prime}$sind zwei Null-Modi für den Hessischen$H_{\mu\nu}$.

Betrachten Sie nun einen beliebigen Nullmodus

$$Z~\notin~ {\rm span}_{\mathbb{R}}(\dot{X},X^{\prime}).\tag{18}$$

Wir möchten zwei reelle Zahlen finden$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$so dass der Vektor

$$V ~:=~ Z - \alpha \dot{X} - \beta X^{\prime} \tag{19}$$ ist orthogonal zu$\dot{X}$Und$X^{\prime}$, dh $$V\cdot \dot{X}~=~0\qquad\text{and}\qquad V\cdot X^{\prime}~=~0. \tag{20}$$ Es ist leicht zu sehen, dass dies möglich ist, wenn${\cal L}_{(1)}\neq 0$, die in regelmäßigen Worldsheet-Punkten zufrieden ist, vgl. ungleich (2). Dann folgt aus Gl. (18) das$V\neq 0$. Und da$\dot{X}$nicht raumartig ist, dann ist Gl. (20) impliziert dies$V$ist raumartig.

VI) Schließlich lautet die quadratische Form

$$0~=~Z^{\mu}H_{\mu\nu}Z^{\nu}~\stackrel{(14)}{=}~\frac{T_0 d V^2}{{\cal L}_{(1)}^{\frac{1}{2}}}~>~0.\tag{21}$$ Widerspruch.

Somit$\dot{X}$Und$X^{\prime}$sind die einzigen zwei Nullmodi. Sie gehen Hand in Hand mit den beiden First-Class-Constraints (6) und (7).

Verweise:

1. B. Zwiebach, A first course in String Theory, 2. Auflage, 2009; P. 109-110.

2. E. Kiritsis, Stringtheorie in Kürze, 2007; S.15.

I) In dieser alternativen Antwort lösen wir den Singular Hessisch auf$H_{\mu\nu}$der Nambu-Goto-Saitenaktion durch die Einführung von zwei Hilfsvariablen von Anfang an, wodurch indirekt gezeigt wird, dass die Hesse$H_{\mu\nu}$muss Co-Rang 2 haben. Die Zielraummetrik hat$(-,+,\ldots,+)$unterzeichnen Konvention, und$c=1=\hbar$. Betrachten Sie die erweiterte Nambu-Goto-Lagrange-Dichte$^1$

$$\begin{align} {\cal L}(X,e,b) ~:=~&-\frac{{\cal L}_{(1)}(X,b)}{2e}-\frac{eT_0^2}{2}, \qquad e~>~0,\cr {\cal L}_{(1)}(X,b)~:=~&-b^2+2bc-a d ,\cr a~:=~&\dot{X}^2~\leq~0,\cr c~:=~&\dot{X}\cdot X^{\prime} ,\cr d~:=~&(X^{\prime})^2~>~0. \end{align}\tag{1}$$

II) Die eoms für$e$Und$b$Sind

$$(eT_0)^2~\approx~{\cal L}_{(1)}(X,b) \qquad\text{and}\qquad b~\approx~c, \tag{2}$$ bzw. [Die Bewegungsgleichung (eom) bedeutet die EL-Gleichung . Der$\approx$sign bedeutet hier gleich modulo die eoms.] Integrieren wir die Hilfsvariablen heraus$e$Und$b$, erhalten wir die übliche Nambu-Goto-Lagrange-Dichte

$$\begin{align}{\cal L}_{(1)}(X,b\!=\!c) ~=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta} \cr ~=~&-\det\begin{pmatrix}a &c \cr c & d \end{pmatrix}\cr ~=~& c^2-a d~\geq~ 0, \cr {\cal L}_{NG}(X)~:=~&{\cal L}\left(X,e\!=\!\frac{\sqrt{{\cal L}_{(1)}(X,b\!=\!c)}}{T_0} ,b\!=\!c\right)\cr ~=~& -T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}(X,b\!=\!c)}.\end{align}\tag{3}$$

III) Momente sind

$$P_{(1)\mu} ~:=~\frac{\partial {\cal L}_{(1)}}{\partial \dot{X}^{\mu}} ~=~ 2b X^{\prime}_{\mu} -2 d \dot{X}_{\mu} ,\tag{4}$$ $$P_{\mu}~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{X}^{\mu}} ~=~ -\frac{1}{2e} P_{(1)\mu}. \tag{5}$$

Es ist möglich, nach den Geschwindigkeiten aufzulösen

$$\begin{align} \dot{X}_{\mu}~=~&\frac{b}{d}X^{\prime}_{\mu}-\frac{1}{2d}P_{(1)\mu}\cr ~=~&\frac{b}{d}X^{\prime}_{\mu}+\frac{e}{d}P_{\mu}.\end{align}\tag{6}$$

Dies zeigt indirekt, dass das ursprüngliche Nambu-Goto hessisch ist$H_{\mu\nu}$(im$X$-Sektor nur) muss Co-Rang haben (kleiner oder gleich) 2. Die Einführung von Hilfsvariablen$e$Und$b$hat die Korrespondenz gemacht$\dot{X} \leftrightarrow P$bijektiv. [Die vollständige Legendre-Transformation ist seitdem einzigartig im Hilfssektor$\dot{e}$Und$\dot{b}$tauchen nicht auf${\cal L}$.]

IV) Entfernen der Geschwindigkeitsabhängigkeit (6), die Lagrange-Dichte wird

$${\cal L}_{(1)}~=~-\frac{e^2P^2}{d}.\tag{7}$$

Die Hamiltonsche Dichte hat die Form "Lagrange-Multiplikatoren mal Einschränkungen".

$$\begin{align} {\cal H}~:=~& P\cdot \dot{X} - {\cal L}\cr ~=~&\frac{b}{d}\chi_1 +\frac{e}{2d}\chi_2, \cr H :=& \int \! d\sigma~{\cal H}. \end{align}\tag{8}$$

Beachten Sie, dass die Hilfsvariablen$e$Und$b$spielen die Rolle von Lagrange-Multiplikatoren in der Hamiltonschen Formulierung. Die beiden erstklassigen Einschränkungen sind

$$\begin{align} \chi_1~:=~&P\cdot X^{\prime} ~\approx~0, \cr \chi_2~:=~&P^2+T_0^2(X^{\prime})^2~\approx~0.\end{align}\tag{9}$$

Die erste Hälfte von Hamiltons Gl. reproduziert Gl. (6). Die zweite Hälfte von Hamiltons Gl. ergibt das Nambu-Goto eom.

Verweise:

1. B. Zwiebach, A first course in String Theory, 2. Auflage, 2009; P. 109-110.

2. E. Kiritsis, Stringtheorie in Kürze, 2007; S.15.

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$^1$Die Gaußsche Integration über die Hilfsvariable$b\equiv b_M$sieht in der Minkowski-Signatur naiv instabil aus. Man sollte Wick drehen$\tau_E=i\tau_M$zur euklidischen Signatur, um eine Lagrange-Dichte zu erhalten$-{\cal L}_M={\cal L}_E>0$von unten begrenzt mit$-ib_M=b_E\in\mathbb{R}$.

Ein allgemeiner Beweis für reparametrisierungsinvariante Aktionen

$$S = \int d^2 u \mathcal{L}(x^{\mu},x_{,i}^{\mu}), \ \ \ \ i = 0,1, \ \ \ \mu = 0,1,\dots, D- 1,$$ Es ist zu beachten, dass ein Teil der Ableitung des Noether-Theorems (die Ableitung, bei der Sie davon ausgehen, dass das Volumenelement ebenfalls variiert) für eine infinitesimale Variation der Parameter schematisch wie folgt abgeleitet wird (siehe Referenz unten für Details). $\tilde{u}^i(u) = u^i + \varepsilon^i(u)$durch notieren $$\begin{align} \delta S &= \delta \int d^2 u \mathcal{L}(x^{\mu},x_{,i}^{\mu}) \\ &= \int d^2 u [\dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}} \delta x^{\mu} + \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}_{,i}} \delta x^{\mu}_{,i} + \mathcal{L} \partial_i \varepsilon^i ] \\ &= \int d^2 u \{ \partial_i [ (\mathcal{L} \delta^i_j - \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}_{,i}} x^{\mu}_{j})\varepsilon^j ] - ( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}} - \dfrac{\partial }{\partial u^i} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{,i}^{\mu}}) x^{\mu}_{,i} \} \\ &= 0, \end{align}$$ impliziert, für Variationen der $u^i$die an den Grenzen verschwinden, dass die Operatoren $$\begin{align} L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) = \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}} - \dfrac{\partial }{\partial u^i} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{,i}^{\mu}} \end{align}$$ erfüllen die Identitäten $$\begin{align} L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) x^{\mu}_{,i} = 0 , \ \ \ i = 0,1 \end{align}$$ automatisch, was bedeutet, dass wir nur haben $D - 2$Bewegungsgleichungen für $D$Koordinaten, so dass die Lösung von zwei beliebigen Funktionen der Parameter abhängt $u^0,u^1$.

Für Aktionen wie die Nambu-Goto-Aktion nicht abhängig von der$x^{\mu}$die Betreiber$L_{\mu}$nimm das Formular

$$L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) = \dfrac{\partial}{\partial \tau} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^{\mu}}) + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x'^{\mu}})$$ und erfüllen die Identitäten $$\begin{align} L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) \dot{x}^{\mu} &= 0 \\ L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x)x'^{\mu} &= 0 \end{align}$$ die, wenn sie erweitert werden, sagen wir, für $\dot{x}^{\mu}$: $$\begin{align} 0 &= L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) \dot{x}^{\mu} \\ &= [\dfrac{\partial}{\partial \tau} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^{\mu}}) + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x'^{\mu}})]\dot{x}^{\mu} \\ &= [\dfrac{\partial}{\partial \tau} (\dfrac{\partial \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\mu}}) + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial x'^{\mu}})]\dot{x}^{\mu} \\ &= [ \dfrac{\partial^2 \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\nu} \partial \dot{x}^{\mu}} \ddot{x}^{\nu} + \dots + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial x'^{\mu}})]\dot{x}^{\mu} \\ &= [\dfrac{\partial^2 \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\nu} \partial \dot{x}^{\mu}} \dot{x}^{\mu} ] \ddot{x}^{\nu} + \dots \end{align}$$ und da muss dies unabhängig von der wahl gelten $x^{\mu}$, die Koeffizienten jeder Ableitung von $x^{\nu}$muss automatisch null sein, was bedeutet, dass die Hessische erfüllt $$[\dfrac{\partial^2 \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\nu} \partial \dot{x}^{\mu}} \dot{x}^{\mu} ] = 0$$ und ähnlich ab $x'^{\mu}$, was den Rang des Hessen angibt $D- 2$. Darüber hinaus Analyse der Komponenten von $$t_{ij} = \mathcal{L} \delta^i_j - \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}_{,i}} x^{\mu}_{j} = 0$$ Sie erhalten beide primären Einschränkungen für die Nambu-Goto-Aktion. Das alles geschieht in:

Referenz:

1. Barbashov, BM, & Nesterenko, VV (1990). Einführung in die relativistische Stringtheorie; Sek. 3, 7, Anhang B.