Prinzipieller Ansatz, um zum geodätischen Hamiltonoperator H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu zu gelangen?

Question

Prinzipieller Ansatz, um zum geodätischen Hamiltonoperator H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu zu gelangen?

Benutzer1379857

Der Hintergrund:

Wenn wir einen Raumzeitpfad haben $x^\mu(t)$ parametrisiert durch beliebige Parameter $t$ , die richtige Zeit entlang des Pfades zwischen $t_1$ Und $t_2$ Ist

\int_{T_{1}}^{T_{2}} (G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v})^{1 / 2} D T .

$\int_{t_1}^{t_2} (g_{\mu \nu} \dot x^\mu \dot x^\nu)^{1/2}dt.$ Diese Aktion hat eine Umparametrierungssymmetrie. Wenn wir die Lagrange-Funktion annehmen

L = (G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v})^{1 / 2}

$L = (g_{\mu \nu} \dot x^\mu \dot x^\nu)^{1/2}$ dann lautet die Euler-Lagrange-Gleichung (nach Multiplikation mit der inversen Metrik)

{\ddot{X}}^{μ} = - Γ_{β γ}^{μ} {\dot{X}}^{β} {\dot{X}}^{γ} + {\dot{X}}^{μ} \frac{D}{D T} \ln (L) .

$\ddot x^\mu = - \Gamma^\mu_{\; \beta \gamma} \dot x^\beta \dot x^\gamma + \dot x^\mu \frac{d}{dt} \ln(L).$ Wenn wir einen affinen Parameter verwenden

t

$t$ so dass

L

$L$ entlang des Weges konstant ist, dann ist dies nur die reguläre geodätische Gleichung.

Wir können sehen, dass die Reparametrisierungs-(Eich-)Symmetrie ein großer Schmerz ist. Beispielsweise scheint es der Hamiltonian zu sein $0$ .

\begin{aligned} H & = (\frac{\partial L}{\partial {\dot{X}}^{μ}}) {\dot{X}}^{μ} - L \\ = 2 \frac{1}{2} \frac{G_{μ v} {\dot{X}}^{v}}{(G_{a β} {\dot{X}}^{a} {\dot{X}}^{β})^{1 / 2}} {\dot{X}}^{μ} - (G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v})^{1 / 2} \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align*} H &= \Big( \frac{\partial L}{\partial\dot x^\mu} \Big)\dot x^\mu - L \\ &= 2\frac{1}{2}\frac{g_{\mu \nu} \dot x^\nu}{(g_{\alpha \beta} \dot x^\alpha \dot x^\beta )^{1/2}} \dot x^\mu - (g_{\mu \nu} \dot x^\mu \dot x^\nu)^{1/2} \\ & = 0. \end{align*}$ Dies scheint mit der Reparametrisierungssymmetrie zusammenzuhängen, weil

H

$H$ sollte Zeitübersetzungen erzeugen. Wenn die Zeitentwicklung jedoch nicht deterministisch ist, dann gibt es nichts für

H

$H$ vernünftig sein.

Wir möchten daher einen weniger "pathologischen" Lagrange- und Hamiltonoperator mit denselben Bewegungsgleichungen, aber in automatisch affin parametrisierter Form finden. Die Antwort ist zu nehmen

L = \frac{1}{2} G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} ⟹ H = \frac{1}{2} G^{μ v} P_{μ} P_{v} .

$L = \frac{1}{2} g_{\mu \nu} \dot x^\mu \dot x^\nu \implies H = \frac{1}{2} g^{\mu \nu} p_{\mu} p_{\nu}.$ Beachten Sie, dass

L_{n e w} = \frac{1}{2} L_{o l d}^{2}

$L_{\rm new} = \tfrac{1}{2}L_{\rm old}^2$ . Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind tatsächlich die affin parametrisierten geodätischen Gleichungen. Dasselbe gilt für die Hamilton-Gleichungen

{\dot{X}}^{μ} = \frac{\partial H}{\partial P_{μ}}, {\dot{P}}_{μ} = - \frac{\partial H}{\partial X^{μ}} ⟹ {\ddot{X}}^{μ} = - Γ_{β γ}^{μ} {\dot{X}}^{β} {\dot{X}}^{γ} .

$\dot x^\mu = \frac{\partial H}{\partial p_{\mu}} , \hspace{1 cm} \dot p_{\mu} = - \frac{\partial H}{\partial x^{\mu}} \implies \ddot x^\mu = - \Gamma^\mu_{\; \beta \gamma} \dot x^\beta \dot x^\gamma.$

Die Frage:

Es scheint ein völliger Zufall zu sein, dass das Quadrieren der Lagrange-Funktion uns eine Art "kalibrierte" Version unserer ursprünglichen Lagrange-Funktion liefert. Gibt es einen prinzipiellen, philosophischen Ansatz, von dem wir ausgehen können? $L_{\rm old}$ Zu $L_{\rm new}$ , anstatt nur zu sehen, dass die Bewegungsgleichungen uns geben, was wir wollen? Ist dies ein Sonderfall eines allgemeineren Verfahrens?

Oktonion

Sind Sie sich des gleichen Unterschieds bewusst, der zwischen der Nambu-Goto-Aktion und der Polyakov-Aktion auftritt?

Benutzer1379857

Ja, das ist einer der Gründe, warum mich die Antwort interessiert. Aber selbst dieses Verfahren, wie ich es beschrieben gesehen habe, ist ein wenig "ad hoc".

Oktonion

Nun, das Minimieren der Eigenzeit ist dasselbe wie das Quadrat der Eigenzeit. Aber die eigentliche Zeitquadratwirkung ist nur die gewöhnliche Lagrange-Funktion für ein freies Teilchen (der kinetische Begriff), verallgemeinert auf einen gekrümmten Hintergrund. Sie können sich dies auch als nichtlineares Sigma-Modell vorstellen, wenn Sie möchten

Benutzer1379857

Nun, das Integral der (Eigenzeiten) zum Quadrat unterscheidet sich von (dem Integral der Eigenzeit)^2

Oktonion

Ja, die darauf aufbauende Quantentheorie ist unterschiedlich, aber der Sattelpunkt ist derselbe

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Prinzipieller Ansatz, um zum geodätischen Hamiltonoperator H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu zu gelangen?

Sind Sie sich des gleichen Unterschieds bewusst, der zwischen der Nambu-Goto-Aktion und der Polyakov-Aktion auftritt?
Ja, das ist einer der Gründe, warum mich die Antwort interessiert. Aber selbst dieses Verfahren, wie ich es beschrieben gesehen habe, ist ein wenig "ad hoc".
Nun, das Minimieren der Eigenzeit ist dasselbe wie das Quadrat der Eigenzeit. Aber die eigentliche Zeitquadratwirkung ist nur die gewöhnliche Lagrange-Funktion für ein freies Teilchen (der kinetische Begriff), verallgemeinert auf einen gekrümmten Hintergrund. Sie können sich dies auch als nichtlineares Sigma-Modell vorstellen, wenn Sie möchten
Nun, das Integral der (Eigenzeiten) zum Quadrat unterscheidet sich von (dem Integral der Eigenzeit)^2
Ja, die darauf aufbauende Quantentheorie ist unterschiedlich, aber der Sattelpunkt ist derselbe

QMechaniker · Answer 1

Physiker normalisieren die Quadratwurzel-Lagrange herkömmlich etwas anders, nämlich als $^1$
$\begin{matrix} (1) & L_{0} := - M \sqrt{- {\dot{X}}^{2}}, {\dot{X}}^{2} := G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} < 0, \end{matrix}$ $L_0~:=~ -m\sqrt{-\dot{x}^2}, \qquad \dot{x}^2~:=~g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~<~0,\tag{1}$ Wo $m>0$ ist die Masse. (OP geht davon aus $m=1$ .)
Es ist wichtig anzumerken, dass die Legendre-Transformation der Quadratwurzel-Lagrangefunktion (1) singulär ist: Der Impuls muss die Masse-Schale-Beschränkung erfüllen
$\begin{matrix} (2) & P^{2} + M^{2} \approx 0, P^{2} := G^{μ v} (X) P_{μ} P_{v} . \end{matrix}$ $p^2+m^2~\approx~0 , \qquad p^2~:=~g^{\mu\nu}(x)~ p_{\mu}p_{\nu}.\tag{2}$ Obwohl OP richtig ist, dass der ursprüngliche Hamilton-Operator aufgrund der Reparametrisierungsinvarianz der Weltlinie (WL) Null ist , ist der vollständige Hamilton-Operator daher $\begin{matrix} (3) & H = \frac{e}{2} (P^{2} + M^{2}) \end{matrix}$ $H~=~ \frac{e}{2}(p^2+m^2)\tag{3}$ wird zu einem Lagrange-Multiplikator $e$ multipliziert mit der Masse-Schale-Einschränkung (2).
Die inverse Legendre-Transformation des Hamiltonoperators (3) führt zum Lagrangeoperator
$\begin{matrix} (4) & L = \frac{{\dot{X}}^{2}}{2 e} - \frac{e M^{2}}{2} . \end{matrix}$ $L~=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e m^2}{2}.\tag{4}$ Integrieren wir das heraus $e$ Feld wird der Lagrange (4) zum Quadratwurzel-Lagrange (1), vgl. zB dieser verwandte Phys.SE-Beitrag.
Der Hauptpunkt ist nun, dass der quadratische Hamilton-Operator und der Lagrange-Operator von OP die sind $e=1$ Eichmaß des Hamilton-Operators (3) bzw. des Lagrange-Operators (4) bis hin zu irrelevanten konstanten Termen. In diesem Sinne folgen sie systematisch aus dem Dirac-Bergmann-Algorithmus für eingeschränkte Systeme.
Weitere Details finden Sie zB in diesem verwandten Phys.SE-Beitrag.

--

$^1$ Wir verwenden die Vorzeichenkonvention $(-,+,+,+)$ , und setzen Sie die Lichtgeschwindigkeit $c=1$ .

Aber wenn wir die Einschränkung beheben wollen $(p^2 + m^2) = 0$ , würde der Lagrange-Funktion keine Funktion dieser Einschränkung hinzufügen, $ef(p^2 + m^2)$ , Mache den Trick? Warum nicht verwenden $(p^2 + m^2)^{1/2}$ zum Beispiel? Gibt es nicht etwas Besonderes am quadratischen Langrangian?
Beachten Sie, dass die Mass-Shell-Einschränkung (2) bereits automatisch im Lagrange-Formalismus erfüllt ist, der auf dem Quadratwurzel-Lagrange (1) basiert.

Prinzipieller Ansatz, um zum geodätischen Hamiltonoperator H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu zu gelangen?

Benutzer1379857

Oktonion

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QMechaniker

Benutzer1379857

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