Variationsprinzip für ein Punktteilchen (massiv oder masselos) im gekrümmten Raum

Question

Variationsprinzip für ein Punktteilchen (massiv oder masselos) im gekrümmten Raum

Physik
Geodäten
generelle Relativität
eingeschränkte Dynamik
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

PhilosophischePhysik

Wir wissen, dass für ein Punktteilchen die Aktion ist

S [X, e] = \frac{1}{2} \int_{λ_{A}}^{λ_{B}} D λ [e^{- 1} (λ) G_{μ v} (X (λ)) {\dot{X}}^{μ} (λ) {\dot{X}}^{v} (λ) - (M C)^{2} e (λ)],

$S[x,e] ~=~ \frac{1}{2}\int_{\lambda_A}^{\lambda_B} d\lambda\left[e^{-1}(\lambda)~g_{\mu\nu}(x(\lambda))~\dot{x}^\mu(\lambda)~\dot{x}^\nu(\lambda) -(mc)^2e(\lambda)\right] ,$

mit Signaturkonvention $(-,+,+,+)$ . Es wurde auf einer Website erwähnt, als ich das gegoogelt habe $e$ Und $x$ sind die dynamischen Variablen und aus ihnen sollten wir die Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten.

Ich habe mich gefragt, wie ich anfangen soll, da ich vor ein paar Minuten zum ersten Mal auf diese einbein-Variable gestoßen bin (von der ich nicht wusste, dass sie überhaupt eine Variable ist)!

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Variationsprinzip für ein Punktteilchen (massiv oder masselos) im gekrümmten Raum

QMechaniker · Answer 1

Das Einbein-Feld $e(\lambda)\neq 0$ ist kein dynamisches Feld, weil es kein gibt $\dot{e}(\lambda)$ gegenwärtig. Es ist ein sogenanntes Hilfsfeld oder verallgemeinerter Lagrange-Multiplikator. Sein EL-Gl. vereinfacht zu
$\begin{matrix} (1) & (M C e)^{2} \approx - G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} . \end{matrix}$ $(mce)^2~\approx~-g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu} . \tag{1}$ [Hier das $\approx$ Symbol bedeutet Gleichheit modulo eom.] Hier $m$ ist die Ruhemasse des Punktteilchens. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links.
Im massiven Fall $m>0$ , können wir die integrieren $e$ Feld, was bedeutet, es in der Aktion zu ersetzen $S[x,e]$ durch seine eom
$\begin{matrix} (2) & e \approx \pm \frac{1}{M C} \sqrt{- G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}}, \end{matrix}$ $e~\approx~\pm\frac{1}{mc}\sqrt{-g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}} ,\tag{2}$ die zwei Zweige hat. Die resultierende Aktion ist $\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} S_{\pm} [X] := & S [X, e = \pm \frac{1}{M C} \sqrt{\dots}] \\ = & \mp M C \int D λ \sqrt{- G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}} {\begin{matrix} < \\ > \end{matrix}} 0. \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S_{\pm}[x]~:=~&S\left[x,e=\pm\frac{1}{mc}\sqrt{ \ldots}\right]\cr ~=~&\mp mc \int \!d\lambda~ \sqrt{- g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}~ \left\{ \begin{array}{c} < \cr > \end{array}\right\}~0. \end{align}\tag{3}$ Der $S_{+}[x]$ Verzweigung ist die Standard-Quadratwurzelwirkung für ein massives Punktteilchen, vgl. zB diese und diese Phys.SE Beiträge. Das Minimum von $S_{+}[x]$ (und das Maximum von $S_{-}[x]$ ) erhält man für zeitartige geodätische Kurven $x^{\mu}(\lambda)$ . Oft werfen wir die weg $S_{-}[x]$ verzweigen, da wir hauptsächlich am Minimum interessiert sind. Dies kann in das Variationsprinzip kodiert werden, indem dem Einbein-Feld auferlegt wird $e(\lambda)>0$ ist positiv.
Im masselosen Fall $m=0$ , Gl. (1) wird
$\begin{matrix} (4) & G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} \approx 0, \end{matrix}$ $g_{\mu\nu}~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu} ~\approx~0, \tag{4}$ das ist die Bewegungsgleichung (EOM) für ein masseloses Teilchen, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Variationsprinzip für ein Punktteilchen (massiv oder masselos) im gekrümmten Raum

PhilosophischePhysik

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QMechaniker

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