Ableitung der geodätischen Gleichung mit einem Lagrange-Multiplikator zur Fixierung der affinen Parametrisierung

Question

Ableitung der geodätischen Gleichung mit einem Lagrange-Multiplikator zur Fixierung der affinen Parametrisierung

Physik
Geodäten
Spezielle Relativität
eingeschränkte Dynamik
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

Toaster

Die geodätische Gleichung kann mit der Aktion abgeleitet werden

\begin{matrix} (1) & S_{0} = \int D τ \sqrt{- {\dot{X}}_{μ} \cdot {\dot{X}}^{μ}} \end{matrix}

$S_0 ~=~ \int d\tau \sqrt{-\dot{x}_\mu\cdot \dot{x}^\mu}\tag{1}$ (Ich verwende die (-+++) Konvention und

\dot{x} = \frac{d x}{d τ}

$\dot{x} = \frac{dx}{d\tau}$ ). Zur Vereinfachung der Berechnungen wählt man dann eine explizite Parametrisierung, nämlich die Bogenlänge

τ

$\tau$ dh

\begin{matrix} (2) & {\dot{X}}_{μ} {\dot{X}}^{μ} = - 1. \end{matrix}

$\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu = -1.\tag{2}$ Aus meiner Sicht bedeutet dies, dass ich die Aktion mit der Einschränkung minimiere:

\begin{matrix} (3) & {\dot{X}}_{μ} {\dot{X}}^{μ} + 1 = 0. \end{matrix}

$\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu + 1 = 0.\tag{3}$ Die resultierende Gleichung sollte also dieselbe sein, wenn ich stattdessen die folgende Aktion verwende

\begin{matrix} (4) & S = \int D τ \sqrt{- {\dot{X}}_{μ} \cdot {\dot{X}}^{μ}} + λ ({\dot{X}}_{μ} {\dot{X}}^{μ} + 1) \end{matrix}

$S = \int d\tau \sqrt{-\dot{x}_\mu\cdot \dot{x}^\mu} + \lambda(\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu + 1)\tag{4}$ Wo

λ

$\lambda$ ist ein Lagrange-Multiplikator.

Lassen Sie uns das eom im Minkowski-Raum finden:

\begin{matrix} (5) & 0 = {\dot{P}}_{μ} = \frac{D}{D τ} (\frac{- {\dot{X}}_{μ}}{\sqrt{- {\dot{X}}_{μ} {\dot{X}}^{μ}}} + 2 λ {\dot{X}}_{μ}) \end{matrix}

$0 = \dot{p}_\mu = \frac{d}{d\tau}\left(\frac{-\dot{x}_\mu}{\sqrt{-\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu}} + 2\lambda\dot{x}_\mu\right)\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & {\dot{X}}_{μ} {\dot{X}}^{μ} + 1 = 0. \end{matrix}

$\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu + 1 = 0.\tag{6}$

Die Quadratwurzel in der ersten Gleichung ist gleich 1. Also

\begin{matrix} (7) & P_{μ} = (2 λ - 1) {\dot{X}}_{μ} . \end{matrix}

$p_\mu = (2\lambda - 1)\dot{x}_\mu.\tag{7}$ Aus der zweiten Gleichung finde ich

{\ddot{X}}^{μ} {\dot{X}}_{μ} = 0.

$\ddot{x}^\mu \dot{x}_\mu = 0.$ Mit diesem

\begin{matrix} (8) & \frac{D}{D τ} {\dot{X}}^{μ} P_{μ} = {\ddot{X}}^{μ} P_{μ} + {\dot{X}}^{μ} {\dot{P}}_{μ} = 0. \end{matrix}

$\frac{d}{d\tau} \dot{x}^\mu p_\mu = \ddot{x}^\mu p_\mu + \dot{x}^\mu \dot{p}_\mu = 0.\tag{8}$ So

\begin{matrix} (9) & C Ö N S T . = {\dot{X}}^{μ} P_{μ} = 1 - 2 λ \Rightarrow \dot{λ} = 0 \end{matrix}

$\mathrm{const.} = \dot{x}^\mu p_\mu = 1-2\lambda \Rightarrow \dot{\lambda} = 0\tag{9}$ Alles zusammen ergibt:

\begin{matrix} (10) & {\dot{P}}_{μ} = (2 λ - 1) {\ddot{X}}_{μ} = 0. \end{matrix}

$\dot{p}_\mu = (2\lambda - 1) \ddot{x}_\mu = 0.\tag{10}$

Im Falle $\lambda \neq \frac{1}{2}$ das ergibt einfach das alte eom $\ddot{x} = 0$ . Allerdings in dem Fall $\lambda = \frac{1}{2}$ es gibt keine Beschränkung auf $\ddot{x}$ .

Ich verstehe nicht, wo dieser Fall $\lambda = \frac{1}{2}$ kommt von. Wie gehe ich damit um? Kann ich das einfach vernachlässigen? Oder habe ich etwas vergessen?

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QMechaniker · Answer 1

Zunächst sollten wir betonen, was OP anruft $\tau$ ist nicht $^{\dagger}$ richtige Zeit Off-Shell, aber nur einige Parametrisierungen der Weltlinie (WL). Allerdings die Einschränkung
$\begin{matrix} (A) & {\dot{X}}_{μ} {\dot{X}}^{μ} \approx - 1 \end{matrix}$ $\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu ~\approx ~-1\tag{A}$ bedeutet, dass der WL-Parameter $\tau$ ist die richtige Zeit auf der Schale.
Da der EOM von der ersten Ableitung abhängt $\frac{d\lambda}{d\tau}$ des Lagrange-Multiplikators, sollten wir eine einzelne Bedingung spezifizieren, zB eine Trägheitsbedingung (IC) für $\lambda$ . Wählen wir den IC anders aus $1/2$ , vermeiden wir das Problem, wenn $\lambda$ Ist $1/2$ .
Die Natur der $\lambda=1/2$ Pathologie ist eine Entartung des Problems Zwangskraft/fehlender Rang. Um dies klarer zu sehen, beachten Sie, dass wir eine äquivalente Aktion erhalten können
$\begin{matrix} (B) & \tilde{S} = \int_{τ_{ich}}^{τ_{F}} D τ (\sqrt{1} + λ ({\dot{X}}_{μ} {\dot{X}}^{μ} + 1)) \end{matrix}$ $\tilde{S} ~=~ \int_{\tau_i}^{\tau_f}\!\mathrm{d}\tau \left(\sqrt{1} + \lambda(\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu + 1)\right) \tag{B}$ durch Einfügen der Einschränkung (A) in den ersten Term in der OP-Aktion (4). Wenn wir die Berechnung von OP für die äquivalente Aktion wiederholen $\tilde{S}$ Wir werden sehen, dass sich die Probleme verschoben haben $\lambda=0$ . Ganz klar, der Fall $\lambda=0$ entspricht einem degenerierten Fall, in dem das Prinzip der stationären Wirkung (B) schlecht definiert ist.

--

$^{\dagger}$ Wenn der WL-Parameter $\tau$ Ist auch die richtige Zeit aus der Schale, würde dies bedeuten, dass die Aktion von OP (4) gerecht ist $S=\tau_f-\tau_i$ , die durch Randbedingungen (BC) festgelegt ist. Mit anderen Worten, die Aktion würde nicht von der WL abhängen, dh das Variationsproblem wäre schlecht definiert.

2. ok, das ist ein guter Punkt. Aber ich schätze, dieses Problem wird auch bei anderen Lagrangianern auftreten. Gibt es eine Möglichkeit, einen unkritischen Wert von zu finden? $\lambda$ Im Algemeinen? 3. Gibt es eine Möglichkeit, diese Entartung zu beheben? Wie das Hinzufügen einer weiteren Einschränkung?
2. Nein, es hängt vom Variationsproblem ab. 3. Ja. Siehe Punkt 2.
Ich sehe eigentlich nicht, woher diese Entartung kommt. Dies geschieht nicht, wenn Lagrange-Multiplikatoren verwendet werden, um eine Funktion zu minimieren $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ mit Einschränkungen. Warum passiert es hier? Was mich daran hindert, zu wählen $\lambda = \frac{1}{2}$ ?
Ein ähnliches Phänomen tritt auf, wenn wir versuchen, stationäre Punkte für eine Funktion der Form zu finden $F (G (X)) + λ G (X), X \in R^{N} .$ $f(g(x))+\lambda g(x),\qquad x\in \mathbb{R}^n.$
Wäre es möglich, dies zu lösen, indem man fordert, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen für alle gelten sollten $\lambda$ ?
Bei der Berechnung des Photonenpropagators in der QED fügt man die Fixierungsbedingung hinzu $\frac{1}{2\xi}\partial_\mu A^\mu$ zum Lagrange. Das ist genau der gleiche Ansatz, oder? Das Ergebnis ist so etwas wie $\sim \eta^{\mu\nu} - (1 - \xi) \frac{p^\mu p^\nu}{p^2}$ . In meinem Vortrag wurde uns gesagt, dass wir einen beliebigen Wert für wählen können $\xi$ wir wollen (sie nannten es eine Maßfreiheit). Und tatsächlich sind die Streumatrixelemente davon unabhängig $\xi$ (Dies kann anhand der Stationsidentität angezeigt werden). Warum funktioniert die Pegelfestlegung für die Elektrodynamik, aber nicht für die geodätische Gleichung?

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