Lagrange für relativistisches masseloses Punktteilchen

Question

Lagrange für relativistisches masseloses Punktteilchen

Aktion
Physik
Geodäten
Spezielle Relativität
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

346699

Für relativistische massive Teilchen ist die Wirkung

\begin{aligned} S = & - m_{0} \int d s \\ = & - m_{0} \int d λ \sqrt{g_{μ v} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{v}} \\ = & \int d λ L, \end{aligned}

$\begin{align}S ~=~& -m_0 \int ds \cr ~=~& -m_0 \int d\lambda ~\sqrt{ g_{\mu\nu} \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}} \cr ~=~& \int d\lambda \ L,\end{align}$ wo

d s

$ds$ ist die Eigenzeit des Teilchens;

λ

$\lambda$ der Parameter der Trajektorie ist; und wir haben die Minkowski-Signatur verwendet

(+, -, -, -)

$(+,-,-,-)$ . Was ist also die Aktion für ein masseloses Teilchen?

Jim

Ein masseloses Teilchen ist notwendigerweise relativistisch; es reist mit Lichtgeschwindigkeit. Als solches ist es ein Nullstrahl und das kann man nicht wirklich sagen

d s = d τ

$ds=d\tau$ . Sie können auch nicht über die Eigenzeit eines masselosen Teilchens sprechen. Alles, was Sie tun können, ist, den Lagrange-Operator Ihrer klassischen Theorie zu überarbeiten, bis er einen kinetischen Term für ein Feld und keinen Massenterm hat, dann nennen Sie dieses Feld ein masseloses Teilchen, und das ist sein Lagrange-Operator

Antworten (4)

Lagrange für relativistisches masseloses Punktteilchen

Ein masseloses Teilchen ist notwendigerweise relativistisch; es reist mit Lichtgeschwindigkeit. Als solches ist es ein Nullstrahl und das kann man nicht wirklich sagen $ds=d\tau$ . Sie können auch nicht über die Eigenzeit eines masselosen Teilchens sprechen. Alles, was Sie tun können, ist, den Lagrange-Operator Ihrer klassischen Theorie zu überarbeiten, bis er einen kinetischen Term für ein Feld und keinen Massenterm hat, dann nennen Sie dieses Feld ein masseloses Teilchen, und das ist sein Lagrange-Operator

QMechaniker · Answer 1

Die Quadratwurzelwirkung von OP ist entlang null-/lichtähnlicher Richtungen nicht differenzierbar, was sie für ein masseloses Teilchen ungeeignet macht. Also müssen wir uns etwas anderes einfallen lassen. Eine Bewegungsgleichung für ein skalares masseloses relativistisches Punktteilchen auf einer Lorentz-Mannigfaltigkeit $(M,g)$ ist, dass seine Tangente null/leicht sein sollte
$\begin{matrix} (EIN) & {\dot{x}}^{2} := g_{μ v} (x) {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{v} \approx 0, \end{matrix}$ $\dot{x}^2~:=~g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~\approx ~0, \tag{A}$ wobei der Punkt die Differenzierung bzgl. der Weltlinienparameter (WL). $\tau$ (was nicht die richtige Zeit ist). [Hier die $\approx$ Symbol bedeutet Gleichheit modulo EOM.] Dies deutet darauf hin, dass eine mögliche Aktion ist $\begin{matrix} (B) & S [x, λ] = \int d τ L, L = λ {\dot{x}}^{2}, \end{matrix}$ $S[x,\lambda ]~=~\int\! d\tau ~L, \qquad L~=~\lambda ~\dot{x}^2, \tag{B}$ wo $\lambda(\tau)$ ist ein Lagrange-Multiplikator . Diese Antwort (B) mag nur wie ein billiger Trick erscheinen. Beachten Sie jedoch, dass es durch ähnliche Methoden möglich ist, ein allgemeines Wirkungsprinzip anzugeben, das sowohl für masselose als auch für massive Punktteilchen in einheitlicher Weise funktioniert, vgl. zB Art.-Nr. 1 und Gl. (3) in meiner Phys.SE-Antwort hier .
Noch wichtiger ist, dass die entsprechenden Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen für die Aktion (B) die null/lichtähnliche Bedingung sind
$\begin{matrix} (C) & 0 \approx \frac{δ S}{δ λ} = {\dot{x}}^{2}, \end{matrix}$ $0~\approx ~\frac{\delta S}{\delta\lambda}~=~\dot{x}^2, \tag{C}$ und die geodätischen Gleichungen $\begin{matrix} (D) & 0 \approx - \frac{1}{2} g^{σ μ} \frac{δ S}{δ x^{μ}} = \frac{d (λ {\dot{x}}^{σ})}{d τ} + λ Γ_{μ v}^{σ} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{v}, \end{matrix}$ $0~\approx ~-\frac{1}{2}g^{\sigma\mu}\frac{\delta S}{\delta x^{\mu}} ~=~\frac{d(\lambda\dot{x}^{\sigma})}{d\tau} +\lambda\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu},\tag{D}$ wie sie sein sollten.
Die Aktion (B) ist unter WL-Reparametrisierung unveränderlich
$\begin{matrix} (E) & \begin{aligned} τ^{'} = & f (τ), d τ^{'} = d τ \frac{d f}{d τ}, \\ {\dot{x}}^{μ} = & {\dot{x}}^{' μ} \frac{d f}{d τ}, λ^{'} = λ \frac{d f}{d τ} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \tau^{\prime}~=~&f(\tau), \qquad d\tau^{\prime} ~=~ d\tau\frac{df}{d\tau},\cr \dot{x}^{\mu}~=~&\dot{x}^{\prime\mu}\frac{df}{d\tau},\qquad \lambda^{\prime}~=~\lambda\frac{df}{d\tau}.\end{align}\tag{E}$ Daher können wir die Spurweite wählen $\lambda=1$ . Dann Gl. (D) reduziert sich auf die bekannteren affin parametrisierten geodätischen Gleichungen .

Verweise:

J. Polchinski, Stringtheorie Bd. 1, 1998; Gl. (1.2.5).

Kommentar für später: Interessanterweise der kanonische 4-Impuls $p_{\mu}:=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}= 2\lambda g_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}$ ist proportional zum unbestimmten Lagrange-Multiplikator $\lambda$ . Eine Impulsübertragung mit einer äußeren Umgebung kann eine Möglichkeit sein, das Problem zu beheben $\lambda$ .

Mike Stein · Answer 2

Es ist konzeptionell möglich, ein masseloses geladenes Teilchen zu haben, obwohl es keine gibt, von denen wir wissen, dass sie vorhanden sind. Es stimmt nicht, dass die Lorentzkraft gleich Masse mal Beschleunigung sein muss. Der Impuls eines masselosen Teilchens ist eine von seiner Geschwindigkeit unabhängige Größe, da sich alle masselosen Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen. Das Momentum $p$ ist stattdessen gleich $E/c$ , die Energie dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit.

Feuerstein72 · Answer 3

Für ein masseloses Teilchen können wir keinen Schwerpunktrahmen haben.

Leider kann ich noch keine Kommentare hinzufügen. Studieren Sie Klassische Feldtheorie (CFT) oder Quantenfeldtheorie (QFT)? Meine Vermutung ist CFT, da dies wie eine Zeile aus ein paar Vorlesungen in einem CFT-Kurs aussieht, wenn Sie anfangen, Bewegungsgleichungen zu finden.

In diesem Fall gilt für das (masselose) Photon $A_{\mu}(x)$ sagen wir, wir verwenden den Maxwell-Lagrangian, der Lorentz-invariant ist und (in Heaviside-Lorentz-Einheiten) gegeben ist durch

L_{M a x} = - \frac{1}{4} \int d^{4} x F_{μ v} F^{μ v}

$\mathcal{L_{Max}} =-\frac{1}{4} \int d^4x \mathcal{F_{\mu \nu}} \mathcal{F^{\mu \nu}}$ wo

F_{μ v} = \partial_{μ} {EIN}_{v} (x) - \partial_{v} {EIN}_{μ} (x)

$\mathcal{F_{\mu \nu}} = \partial_{\mu}A_{\nu}(x) - \partial_{\nu}A_{\mu}(x)$

Ich weiß, dass dies der Lagrangian des Feldes ist, das zu Partikeln quantisiert ist. Aber ich möchte den Lagrangian eines "klassischen" relativistischen Teilchens beschreiben.
Was ich hier geschrieben habe, ist in der Tat der Lagrangian für ein klassisches relativistisches Feld, $A_{\mu}(x)$ . Ich verstehe nicht ganz, was Sie mit "einem zu Teilchen quantisierten Feld" meinen?
Ich stimme zu, dies ist ein Beispiel für einen Lagrange-Operator für ein masseloses Teilchen
Jim, Flint72, Sie verfehlen beide den Sinn der Frage von user34669. Es geht nicht darum, die Lagrange-Dichte für ein Feld aufzuschreiben, sondern für ein Teilchen im klassischen Sinn des Wortes. Die Tatsache, dass man sich im Zusammenhang mit Vektorpotential für die Begriffe Photon und masseloses Teilchen entschieden hat, ist hier unerheblich.
@JánLalinský Die Frage fragt ausdrücklich nach masselosen relativistischen Teilchen. Alle bekannten masselosen relativistischen Teilchen werden als Felder in ihren jeweiligen Lagrange-Operatoren dargestellt. Wenn wir den Punkt verfehlt haben, sagen Sie uns bitte, was die klassische Bedeutung von "Teilchen" ist. Soweit ich weiß, gibt es keinen großen Unterschied zwischen einer Lagrange-Dichte, die kinetische, Wechselwirkungs- und/oder massive Terme eines Felds beinhaltet, und der klassischen Idee eines Teilchens. Die Lagrange-Funktion muss möglicherweise mehrere interagierende Felder und Zustände beschreiben, aber alle Teilchen können auf einer bestimmten Ebene darauf heruntergebrochen werden.
"Alle bekannten masselosen relativistischen Teilchen werden als Felder in ihren jeweiligen Lagrange-Operatoren dargestellt." Was nur in der Quanteneinstellung Sinn macht. Das OP fragt in der klassischen Einstellung ...
In der klassischen Feldtheorie schließt man masselose Teilchen als Feld ein, nämlich die, die ich oben für das elektromagnetische Potential/Photon angegeben habe. Es ist kein quantisiertes System. Die Felder sind keine Operatoren, die auf einen Hilbert-Zustandsraum wirken. Es gibt nichts Quantenhaftes an dem, was ich oben geschrieben habe. Es ist alles relativistisch und klassisch, wie vom Fragesteller gefordert.
Flint72, Sie müssen @AlexNelson angeben, wenn Sie möchten, dass die Person über die Nachricht benachrichtigt wird
@Jim Ah tut mir leid, ich gewöhne mich gerade erst an diese Website. Vielen Dank. Ich werde es bearbeiten. Ah verdammt, es lässt mich anscheinend nicht nur meinen vorherigen Kommentar nicht bearbeiten, sondern es lässt mich auch nicht mehr als eine Person „an“! Oh, danke, dass Sie AlexNelson für mich angerufen haben!
@ Flint72, das Problem bei einer solchen Argumentation ist, dass QFT erforderlich ist, um sie zu untermauern. Das OP fragte nach einer Null-Geodäte . Sie haben einen Abschnitt eines Bündels produziert . Offensichtlich sind diese sowohl mathematisch als auch physikalisch nicht äquivalent (da Null-Geodäten Spin 0 sind, während Ihr Feld Spin 1 ist). Wenn man versuchen würde, ein Teilchen als Feld zu schreiben, hätte es seine Wirkung $I=\int\delta(x-z(\lambda))\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{z}^{\mu}\dot{z}^{\nu}}\,\mathrm{d}^{4}x\,\mathrm{d}\lambda$ wo Punkte bedeuten $\lambda$ Derivate, und wir "reparieren" $z$ bei der Betrachtung von Variationen.
...und dann bekommen wir genau die Lösung @Qmechanic gepostet.

Ján Lalinský · Answer 4

Ein Teilchen mit Nullmasse muss auch keine elektrische Ladung haben, sonst kann die Lorentz-Formel für die darauf wirkende EM-Kraft nicht verwendet werden, um seine Beschleunigung gemäß zu finden

m a = q E_{e x t} + q \frac{v}{c} \times B_{e x t} .

$m\mathbf a = q\mathbf{E}_{ext} + q\frac{\mathbf v}{c} \times \mathbf B_{ext}.$ Teilchen mit Nullmasse und Nullladung haben jedoch eine triviale Bewegungsgleichung

0 = 0

$0=0$ und hat keine Auswirkung auf die EM-Kräfte auf andere Teilchen. Es scheint ein leerer Begriff zu sein.

Wollen Sie sagen, dass ein Photon mit 0 Masse und 0 Ladung null Einfluss auf die EM-Kräfte anderer Teilchen hat?
Die Frage und meine Antwort betrafen im Kontext der klassischen Theorie Teilchen in ihrer klassischen Bedeutung, die nichts mit Photonen zu tun haben.
Die Beschreibung eines Photons als masseloses Teilchen, das die EM-Kraft vermittelt, kommt in der klassischen Feldtheorie leicht zustande. Wenn ein Photon nicht in das Bild der sogenannten „klassischen Theorie“ passt, dann auch kein anderes masseloses Teilchen
In der klassischen Feldtheorie wirkt EM-Kraft auf Körper und dies wird durch die Lorentzsche Formel für die Kraftdichte oder durch den Maxwell-Spannungstensor beschrieben. In dieser Theorie gibt es keine Photonen.
Der Feldstärketensor, $F_{\mu\nu}$ , als Begriff in der Lagrange-Dichte beschreibt einen kinetischen Begriff für die $A_{\mu}$ aufstellen. In der klassischen Theorie gibt es für dieses Feld auch keinen Massenterm und es besteht eine Kopplung zu den EM-Kräften. Dies beschreibt das Photon und vermittelt die EM-Kraft
Sie verfehlen den Kern der Frage. Siehe meinen Kommentar zur Antwort von Flint72.

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