Die Euler-Lagrange-Gleichung in der speziellen Relativitätstheorie

Question

Die Euler-Lagrange-Gleichung in der speziellen Relativitätstheorie

Andy Bale

Wie kann ich die im Bereich der speziellen Relativitätstheorie gültigen Euler-Lagrange-Gleichungen herleiten? Betrachten Sie insbesondere ein Skalarfeld.

Marek

Kurze Antwort: Führen Sie die Maßnahmen für Ihren (speziell relativistischen) Lagrange durch und verwenden Sie das Variationsprinzip ... Ich könnte in Betracht ziehen, eine detaillierte Antwort darauf zu schreiben, aber lassen Sie uns zuerst wissen, mit welcher Art von System Sie es zu tun haben. Zumindest, ob es endliche oder unendlich viele Freiheitsgrade hat (dh Teilchen vs. Felder).

Andy Bale

Ich möchte ein Skalarfeld betrachten

Φ (x)

$\Phi(x)$

Benutzer442

Hinweis: Teilchen bewegen sich auf Wegen maximaler Eigenzeit.

Marek

@Matt: Es gibt keine richtige Zeit, wenn das Teilchen masselos ist (z. B. Photon). Es ist besser, allgemeine Parameter des Pfads zu berücksichtigen und die Theorie über die Freiheit bei der Neuparametrisierung zu verfügen. Es gibt mehr Einblick in das Problem und erleichtert die Quantisierung (falls man es jemals tun wollte).

Marek

Ich habe Ihre Frage ein wenig bearbeitet (ich hoffe auf eine Weise, die mit dem übereinstimmt, was Sie wollen). Wenn Sie mit dieser Frage andere Absichten hatten, geben Sie bitte weitere Details an.

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Die Euler-Lagrange-Gleichung in der speziellen Relativitätstheorie

Kurze Antwort: Führen Sie die Maßnahmen für Ihren (speziell relativistischen) Lagrange durch und verwenden Sie das Variationsprinzip ... Ich könnte in Betracht ziehen, eine detaillierte Antwort darauf zu schreiben, aber lassen Sie uns zuerst wissen, mit welcher Art von System Sie es zu tun haben. Zumindest, ob es endliche oder unendlich viele Freiheitsgrade hat (dh Teilchen vs. Felder).
Hinweis: Teilchen bewegen sich auf Wegen maximaler Eigenzeit.
@Matt: Es gibt keine richtige Zeit, wenn das Teilchen masselos ist (z. B. Photon). Es ist besser, allgemeine Parameter des Pfads zu berücksichtigen und die Theorie über die Freiheit bei der Neuparametrisierung zu verfügen. Es gibt mehr Einblick in das Problem und erleichtert die Quantisierung (falls man es jemals tun wollte).
Ich habe Ihre Frage ein wenig bearbeitet (ich hoffe auf eine Weise, die mit dem übereinstimmt, was Sie wollen). Wenn Sie mit dieser Frage andere Absichten hatten, geben Sie bitte weitere Details an.

Marek · Answer 1

Allgemeine Vorgehensweise

Erinnern Sie sich zunächst daran, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen Bedingungen für das Verschwinden der Variation der Wirkung sind $S$ . Für ein Skalarfeld $\Phi$ mit Lagrange-Dichte $\mathcal L$ auf einer offenen Teilmenge U haben wir

S [Φ] = \int_{U} L (Φ (x), \partial^{μ} Φ (x)) d^{4} x

$S[\Phi] = \int_U {\mathcal L}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) {\rm d}^4 x$

Betrachten Sie eine Variation des Feldes in der Richtung $\chi$ und berechnen

S [Φ + ε χ] = \int_{M} L (Φ (x) + ε χ (x), \partial^{μ} (Φ (x) + ε χ (x))) d^{4} x

$S[\Phi + \varepsilon \chi] = \int_M {\mathcal L}(\Phi(x) + \varepsilon \chi(x), \partial^{\mu}(\Phi(x) + \varepsilon \chi(x))) {\rm d}^4 x$ Dann mit Taylorentwicklung

S [Φ + ε χ] - S [Φ] = \int_{U} [ε χ (x) \frac{\partial L}{\partial Φ} (Φ (x), \partial^{μ} Φ (x)) + ε (\partial^{μ} χ (x)) \frac{\partial L}{\partial (\partial^{μ} Φ)} (Φ (x), \partial^{μ} Φ (x)) + Ö (ε^{2})] d^{4} x

$S[\Phi + \varepsilon \chi] - S[\Phi] = \int_U \left[ \varepsilon \chi(x) {\partial{\mathcal L} \over \partial \Phi}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) + \varepsilon (\partial^{\mu} \chi(x)) {\partial{\mathcal L} \over \partial (\partial^{\mu} \Phi)}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) + O(\varepsilon^2) \right] {\rm d}^4 x$

Unter Verwendung der partiellen Integration im zweiten Term (vorausgesetzt $\chi$ verschwindet an $\partial U$ ), vorbei tauchen $\varepsilon$ auf beiden Seiten und lassen $\varepsilon \to 0$ dies wird zu einer Richtungsänderung $\chi$

δ S [Φ] [χ] = \int_{U} χ (x) [\frac{\partial L}{\partial Φ} (Φ (x), \partial^{μ} Φ (x)) - \partial^{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial^{μ} Φ)} (Φ (x), \partial^{μ} Φ (x)))] d^{4} x

$\delta S [\Phi][\chi] = \int_U \chi(x) \left[ {\partial{\mathcal L} \over \partial \Phi}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x)) - \partial^{\mu}\left( {\partial{\mathcal L} \over \partial (\partial^{\mu} \Phi)}(\Phi(x), \partial^{\mu}\Phi(x))\right) \right] {\rm d}^4 x$

Indem wir verlangen, dass Variationen in allen Richtungen gleich Null sind, erhalten wir

\frac{\partial L}{\partial Φ} - \partial^{μ} (\frac{\partial L}{\partial (\partial^{μ} Φ)}) = 0

${\partial{\mathcal L} \over \partial \Phi} - \partial^{\mu}\left( {\partial{\mathcal L} \over \partial (\partial^{\mu} \Phi)}\right) = 0$

(Argumente wie immer, also weggelassen).

Beispiel für ein massives Skalarfeld

Betrachten Sie die Lagrange-Dichte

L = \frac{1}{2} η_{μ v} \partial^{μ} Φ \partial^{v} Φ - \frac{1}{2} m^{2} Φ^{2}

${\mathcal L} = {1 \over 2}\eta_{\mu \nu} \partial^{\mu} \Phi \partial^{\nu} \Phi - {1 \over 2} m^2 \Phi^2$ Unter Verwendung der soeben hergeleiteten EL-Gleichungen erhalten wir die Klein-Gordon-Gleichung.

η_{μ v} \partial^{μ} \partial^{v} Φ + m^{2} Φ = ◻ Φ + m^{2} Φ = 0

$\eta_{\mu \nu} \partial^{\mu} \partial^{\nu} \Phi + m^2 \Phi = \square \Phi + m^2 \Phi = 0$

Lagrange-Dichte? Interessant; In all meinen Studien zur Lagrange-Mechanik ist mir dieser Begriff noch nie begegnet. Wir neigen dazu, nur "Lagrange" oder "Lagrange-Operator" zu sagen. Nicht sicher, ob sie gleich sind.
@Noldorin: Die Dualität ist dieselbe wie zwischen Energie und Energiedichte. Ersteres befasst sich mit dem gesamten System und letzteres mit lokaler Verteilung. Von Dichte zu sprechen macht nur Sinn, wenn es um Felder geht. Ich nehme an, Sie haben sich in Ihrer Studie nur mit Partikeln beschäftigt? Beachten Sie jedoch, dass Physiker die Terminologie häufig missbrauchen und die Lagrange-Dichte nur Lagrange nennen (und sogar schreiben).
@Noldorin: Vielleicht ist es erwähnenswert, dass die Aktion für Partikel im Laufe der Zeit nur integral ist. Aber für Felder ist es integral über die gesamte Raumzeit. Sie können dies als Integral der Lagrange-Funktion über die Zeit umschreiben, und die Lagrange-Funktion selbst würde dann integral über die Lagrange-Dichte über den Raum werden.
@Marek: Wahrscheinlich. Die Hauptanwendung der Lagrange-Funktion in der klassischen Mechanik sind zu viele Teilchen, also ja.
@Noldorin: Ich glaube nicht, dass ich jemals außerhalb der Feldtheorie von der Lagrange-Dichte gehört habe. Wenn Sie QFT also nicht studiert haben, ist es keine Überraschung, dass Sie noch nichts davon gehört haben.
@David: Ja, das würde Sinn machen. QFT werde ich wahrscheinlich erst nächstes Jahr studieren.
@Marek: Ich denke, in deiner letzten Gleichung ist ein Fehler, sollte der Begriff nicht sein $m^2 \Phi$ ?

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