Wie sind Lagrangians in QFT konstruiert?

Symmetrie-, Stabilitäts- und Dimensionsanalyse. Sie können zum Beispiel eine Skalarfeldtheorie betrachten. Eine dynamische Aktion für eine solche Theorie muss sein

$S = \int d^4 x \, \, \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$

Weil

ich. Die Lorentz-Symmetrie zeigt an, dass alle Indizes richtig kontrahiert sein müssen

ii. Die Feldgleichungen dürfen die Ableitung zweiter Ordnung nicht überschreiten

iii. Sie können einen möglichen Begriff hinzufügen$V(\phi) = m^{4-n} \phi^n$nur durch Dimensionsanalyse. Beachten Sie, dass dieser Term auch die ersten beiden Bedingungen erfüllt.

Sie können auch ein masseloses Vektorfeld betrachten$A_\mu$. In diesem Fall müssen Sie zwei Symmetrien erfüllen

A. Lorentz (bedeutet, dass alle Indizes kontrahiert werden müssen)

B.$U(1)$(bedeutet, dass die Aktion unter der Variation unveränderlich sein muss$\delta A_\mu = \partial_\mu \Lambda$. Daher müssen Sie ein invariantes Objekt verwenden, das ist$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$.

Somit ist die kinetische Aktion, die diesem Symmetrieprinzip genügt, ebenso wie die Stabilität (Feldgleichung zweiter Ordnung).

$S = \int d^4 x \, \, F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$

Sie können diesem Lagrange einen möglichen Begriff hinzufügen, dh$m^{4-n} (A_\mu A^\mu)^n$, wie im Skalarfall. In diesem Fall können Sie die nicht mehr befriedigen$U(1)$Symmetrie, also musst du darauf verzichten. Beachten Sie diese Auswahl$n=2$nach Proca führen würde.