Verwendung des Flächenelements bei der Ableitung von Geodäten

Ein Partikel zeichnet eine Wortleitung nach, daher ist die Aktion proportional zur Bogenlänge.

$$S = \int \mathrm{d}s \, \sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu \dot{x}^\nu}$$

Das Variieren der Aktion führt, wie Sie sagten, zu den Euler-Lagrange-Gleichungen, die den geodätischen Gleichungen entsprechen. Wenn wir eine Aktion proportional zur Fläche betrachten, würden wir eine Zeichenfolge beschreiben, da sie ein Wortblatt und nicht eine Zeile nachzeichnet. Wenn wir bezeichnen$\sigma^\alpha$die kollektiven intrinsischen Koordinaten auf dem Blatt, dann ist die induzierte Metrik einfach gegeben durch,

$$\gamma_{\alpha \beta} = \frac{\partial X^\mu}{\partial \sigma^\alpha}\frac{\partial X^\nu}{\partial \sigma^\beta} g_{\mu\nu}$$

Wo$X^\mu$bezeichnen die Einbettungsfunktionen und$g_{\mu \nu}$ist die Metrik des Zielraums. Naiverweise würden wir die Aktion dann schreiben als

$$S = -T\int \mathrm{d}^2 \sigma \, \sqrt{-\det\gamma} = -T \int \mathrm{d}^2 \sigma \, \sqrt{(\dot{X} \cdot X')^2 -(\dot{X})^2 (X')^2}$$

bei impliziter Kontraktion mit der Metrik bezeichnen Primzahlen die Differenzierung in Bezug auf$\sigma$, und Punkte dargestellt in Bezug auf$\tau$, wie wir uns entschieden haben$\sigma^\alpha = (\tau, \sigma)$. Die Konstante$T$hat Dimensionen der Spannung; Obwohl es nichts mit der Frage zu tun hat, wird es in der Nambu-Goto-Aktion gegeben von:

$$T=\frac{1}{2\pi \alpha'}$$

Wo$\alpha'$ist die universelle Regge-Piste. Der$m^2$gegen$J$Diagramm für Hadronen führt zu einer linearen Regressionslinie, die einen Gradienten hat$\alpha'$, daher der Name. Historisch gesehen wurde die Stringtheorie zuerst als Mittel zur Erklärung starker Wechselwirkungen und nicht als Quantengravitation erforscht.

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Quelle: Vorlesungsunterlagen von David Tong zur Stringtheorie, unter http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string .

Dies liegt etwas außerhalb meines Gebiets, aber Elie Cartan hat eine Form der Differentialgeometrie entwickelt, die eher auf dem Flächenelement als auf dem Linienelement basiert. Die wichtigste Referenz auf Französisch ist E. Cartan. Les espaces métriques fondés sur la notion d'aire . Es gibt einen relativ neuen arxiv-Artikel in englischer Sprache. Das Konzept der Orthogonalität in Cartans Geometrie basiert auf dem Konzept der Fläche , das diese Ideen erweitert. Die Zusammenfassung sagt

1931 konstruierte Elie Cartan eine selten beachtete Geometrie. Cartan schlug einen Weg zur Definition einer infinitesimalen Metrik ds vor, ausgehend von einem Variationsproblem auf Hyperflächen in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit$\mathcal{M}$. Dieser Abstand hängt nicht nur vom Punkt ab$\text{m}\in\mathcal{M}$sondern auf der Orientierung einer Hyperebene im Tangentialraum$T_{\text{m}}\mathcal{M}$. Sein erster Schritt ist eine natürliche Definition der orthogonalen Richtung zu einer solchen tangentialen Hyperebene. In dieser Arbeit erweitern wir sie ausgehend von Überlegungen aus der Variationsrechnung.