Lagrangesche Formulierung für lichtähnliche Geodäten

Question

Lagrangesche Formulierung für lichtähnliche Geodäten

Randbedingung

Ich habe mehrere detaillierte Demonstrationen gefunden, die die geodätische Gleichung von der Lagrange-Funktion ableiten. Jede Demonstration besagt jedoch, dass das Verfahren fehlschlägt und modifiziert werden muss, wenn wir an lichtähnlicher Geodäte interessiert sind, bei der die Standard-Largrange-Funktion immer Null ist. Ich möchte etwas über diese Modifikation erfahren! Kann mir bitte jemand helfen zu verstehen, wie man die geodätische Gleichung für lichtähnliche Geodäten mit einer Lagrange-Technik ableitet? Zum Beispiel weist D'Inverno in D'Invernos einführendem GR-Lehrbuch auf Seite 101 darauf hin, warum der einfache Lagrange-Ansatz für lichtähnliche Geodäten versagen muss, und präsentiert dann einfach das lichtähnliche Ergebnis ohne Ableitung. Ich möchte diese Herleitung lernen!

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/300660/2451 , physical.stackexchange.com/q/107921/2451 und Links darin.

sichere Sphäre

Warum scheitert es? Ich bekomme gerade Linien im Minkowski-Raum gut hin. Einige andere Räume auch. Können Sie das näher erläutern? Könnten Sie bitte auch die Links zu den von Ihnen erwähnten Demonstrationen posten? Danke!

Slereah

Sie müssen die Polyakov-Aktion für Punkte verwenden

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Lagrangesche Formulierung für lichtähnliche Geodäten

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/300660/2451 , physical.stackexchange.com/q/107921/2451 und Links darin.
Warum scheitert es? Ich bekomme gerade Linien im Minkowski-Raum gut hin. Einige andere Räume auch. Können Sie das näher erläutern? Könnten Sie bitte auch die Links zu den von Ihnen erwähnten Demonstrationen posten? Danke!

Prahar · Answer 1

Die normale relativistische Wirkung freier Teilchen ist

S [X] = - M \int D τ \sqrt{- G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}} .

$S[x] = - m \int d\tau \sqrt{ - g_{\mu\nu}(x) {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu } ~.$ Die aus dieser Aktion abgeleiteten Bewegungsgleichungen sind

{\ddot{X}}^{λ} + Γ_{μ v}^{λ} [G (X)] {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} = {\dot{X}}^{λ} \partial_{τ} Protokoll \sqrt{- G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}}

${\ddot x}^\lambda + \Gamma^\lambda_{\mu\nu}[g(x)] {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu = {\dot x}^\lambda \partial_\tau \log \sqrt{ - g_{\mu\nu}(x) {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu }$

Dieser Vorgang ist natürlich nicht geeignet, masselose Teilchen zu beschreiben. Es ist jedoch möglich, die Lagrange-Funktion ein wenig zu modifizieren, was es einem erlaubt, dies zu tun.

Wir führen ein Hilfsfeld ein $e(\tau)$ und betrachten Sie die Lagrange-Funktion

S [e, X] = \frac{1}{2} \int D τ [\frac{1}{e (τ)} G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} - M^{2} e (τ)] .

$S[e,x] = \frac{1}{2} \int d\tau \left[ \frac{1}{e(\tau) } g_{\mu\nu}(x) {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu - m^2 e(\tau) \right] ~.$ Beachten Sie, dass

e (τ)

$e(\tau)$ hat keine zeitlichen Ableitungen in der Aktion und erscheint daher als Hilfsfeld. Es ist leicht zu zeigen, dass sich die Bewegungsgleichungen daraus ableiten

S [e, x]

$S[e,x]$ ist völlig gleichwertig

S [x]

$S[x]$ . Die EOM sind

G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} + M^{2} e^{2} = 0, {\ddot{X}}^{λ} + Γ_{μ v}^{λ} [G (X)] {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} = {\dot{X}}^{λ} \partial_{τ} Protokoll e

$g_{\mu\nu}(x) {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu + m^2 e^2 = 0 ~, \qquad {\ddot x}^\lambda + \Gamma^\lambda_{\mu\nu}[g(x)] {\dot x}^\mu {\dot x}^\nu = {\dot x}^\lambda \partial_\tau \log e$ Also die Aktionen

S [x]

$S[x]$ Und

S [x, e]

$S[x,e]$ sind klassisch äquivalent. Jedoch,

S [x, e]

$S[x,e]$ hat zwei Vorteile gegenüber

S [x]

$S[x]$ .

$S[x,e]$ ist quadratisch ein $x$ . Die lästige Quadratwurzel in $S[x]$ wurde entfernt. Somit ist es wesentlich einfacher zu quantisieren $S[x,e]$ .
$S[x,e]$ ist im masselosen Limes vollkommen wohldefiniert.

Für die fortgeschrittenen Leser werde ich das auch hinzufügen $S[x,e]$ hat eine sehr interessante Interpretation als eindimensionales nichtlineares Sigma-Modell. Die Aktion hat eine $\tau$ Umparametrierung Symmetrie unter denen

τ \to τ^{'}, e (τ) \to e^{'} (τ) Wo e (τ) = \frac{D τ^{'}}{D τ} e^{'} (τ^{'}) .

$\tau \to \tau' ~, \qquad e(\tau) \to e'(\tau) \quad \text{where}\quad e(\tau) = \frac{d\tau'}{d\tau} e'(\tau')~.$ Dies zeigt, dass

e (τ)

$e(\tau)$ kann als eindimensionale Metrik betrachtet werden,

d s^{2} = γ_{τ τ} d τ^{2} = e (τ)^{2} d τ^{2}

$ds^2 = \gamma_{\tau\tau} d\tau^2 = e(\tau)^2 d\tau^2$ . Wir können die Aktion dann schreiben als

S [e, X] = \frac{1}{2} \int D τ \sqrt{γ} [γ^{τ τ} G_{μ v} (X) \partial_{τ} X^{μ} \partial_{τ} X^{v} - M^{2}] .

$S[e,x] = \frac{1}{2} \int d\tau \sqrt{\gamma} \left[ \gamma^{\tau\tau} g_{\mu\nu}(x) \partial_\tau x^\mu \partial_\tau x^\nu - m^2 \right] ~.$ Das ist ein

d = 1

$d=1$ NLSM mit einer "kosmologischen Konstante" proportional zu

m^{2}

$m^2$ .

In der Stringtheorie ergibt die entsprechende Verallgemeinerung a $d=2$ NLSM.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Wenn ich mir selbst überlassen wäre, hätte ich den Lagrange nicht modifiziert ... und mir ist die physikalische Logik dessen nicht klar. Ich verstehe, dass es mit einem Lagrange-Multiplikator zusammenhängt, um die Massenschalenbedingung durchzusetzen?
Ich verstehe nicht, warum es eine Logik geben sollte, dies a priori zu tun. Es ist ein mathematischer Trick und hat seine Vorteile, wie oben dargestellt.

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QMechaniker

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Slereah

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Prahar

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Prahar

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