Ableitungen von Lagrange für relativistische massive Punktteilchen

Das passiert, wenn Sie die Notation überladen und verwechseln, was die Kurve in der Raumzeit und was die Koordinaten in der Raumzeit sind, und mehrere Funktionen verwechseln, indem Sie ihnen dieselben Namen geben.

Mein erster Vorschlag ist, dass Sie die Notation verwenden$v^a$für den Geschwindigkeitsterm, so dass$x^a,v^a$sind unabhängig. Formaler ist die Lagrange-Funktion eine Funktion (auf dem Tangentenbündel einer Mannigfaltigkeit, deren Darstellung in Form eines Diagramms ist) gegeben durch

$$\begin{align} L(x,v)&=-mc\sqrt{g_{ab}(x)v^av^b} \end{align}$$ So, $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial v^a}(x,v) &= mc\frac{g_{ab}(x)v^b}{\sqrt{g_{kl}(x)v^kv^l}}\tag{$*$} \end{align}$$ Beachten Sie das hier$L$ist (wie oben erwähnt) einfach eine Funktion zweier Variablen$(x,v)\in\Bbb{R}^n\times\Bbb{R}^n$, also macht es Sinn, darüber zu sprechen$2n$partielle Ableitungen$\frac{\partial L}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial L}{\partial x^n},\frac{\partial L}{\partial v^1},\dots,\frac{\partial L}{\partial v^n}$.

Als nächstes benötigen wir in den Euler-Lagrange-Gleichungen eine Kurve$\gamma:\Bbb{R}\to TM$, zu dem wir heben$\gamma':\Bbb{R}\to TM$. Wie auch immer, ohne zu sehr in die Differentialgeometrie einzusteigen, sobald Sie Diagramme (dh Koordinaten) ausgewählt haben, können Sie sie sich als Standardkurven vorstellen$\gamma:\Bbb{R}\to\Bbb{R}^n$und seine Geschwindigkeit$\dot{\gamma}:\Bbb{R}\to\Bbb{R}^n$. Das Prinzip der kleinsten Wirkung besagt, dass eine Kurve$\gamma$erfüllt die Bewegungsgleichungen genau dann, wenn für jeden Parameterwert$\lambda\in\Bbb{R}$, hat man

$$\begin{align} \frac{d}{ds}\bigg|_{s=\lambda}\left(s\mapsto \frac{\partial L}{\partial v^a}\bigg|_{(\gamma(s), \dot{\gamma}(s))}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^a}\bigg|_{\gamma(\lambda), \dot{\gamma}(\lambda)}&= 0 \end{align}$$ Mit anderen Worten, SIE FÜHREN ZUERST DIE PARTIELLEN DERIVATE AUS UND STECKEN ERST DANN DIE KURVE EIN (und tun es$\frac{d}{d\lambda}$). Entschuldigen Sie die Großbuchstaben, aber dies ist meiner Meinung nach ein Punkt, der bei jeder Behandlung der Lagrange-Mechanik völlig beschönigt wird und eine der größten Ursachen für Verwirrung darstellt. Außerdem ist mir klar, dass der obige Ausdruck sehr umständlich zu schreiben ist, aber zumindest ist er zu 100% eindeutig und die explizite/präzise Art, Dinge zu schreiben (und dies nicht zu schätzen, trägt zu Ihrer Verwirrung bei).

In Ihrem Fall erhalten Sie das mysteriöse "$0=0$“ (vorausgesetzt$g_{ab}$hängt eigentlich nicht davon ab$x$), weil Sie zuerst die Kurve eingesteckt und dann (fälschlicherweise) versucht haben, partielle Ableitungen durchzuführen (weil Ihre Notation es "ok erscheinen lässt", wenn es tatsächlich nicht der Fall ist). Genauer gesagt, was Sie gesagt haben, ist, dass wir eine Parametrisierung der Kurve so wählen können, dass für jede$\lambda$,$g_{ab}(\gamma(\lambda))\dot{\gamma}^a(\lambda)\dot{\gamma}^b(\lambda)=\text{const}$. Ok, das stimmt sicherlich, aber damit ist die Funktion gemeint$\ell:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$definiert als

$$\begin{align} \ell(\lambda)&=L(\gamma(\lambda),\dot{\gamma(\lambda)})\\ &=-mc\sqrt{g_{ab}(\gamma(\lambda))\dot{\gamma}^a(\lambda)\dot{\gamma}^b(\lambda)}\\ &=-mc^2 \end{align}$$ ist konstant. JEDOCH,$\ell$Und$L$haben überhaupt NICHT die gleiche Funktion, aber Sie denken, dass sie es sind. Die richtige Aussage ist die$\ell'=0$, Nicht das$\frac{\partial L}{\partial v^a}=0$, und im weiteren Sinne das Mapping$\lambda\mapsto \frac{\partial L}{\partial v^a}|_{\gamma(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda)}$ist nicht die Nullabbildung. Es ist dieser Notationsmissbrauch, der Sie völlig zum Stolpern bringt (Sie haben geschrieben$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^a}=-\frac{\partial mc^2}{\partial \dot{x}}=0$, wenn Sie etwas hätten schreiben sollen$\frac{\partial \ell}{\partial \dot{x}^a}=0$. Aber natürlich,$\ell$ist eine Funktion einer Variablen, daher ist die Verwendung partieller Ableitungen nur Unsinn. Wenn Sie die Dinge also klar schreiben, können Sie sofort erkennen, wo Sie Fehler machen). Nur der Vollständigkeit halber ist die richtige Formel (nach$(*)$über) $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial v^a}\bigg|_{(\gamma(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))}&= mc\frac{g_{ab}(\gamma(\lambda))\,\,\dot{\gamma}^b(\lambda)}{\sqrt{g_{kl}(\gamma(\lambda))\dot{\gamma}^k(\lambda)\dot{\gamma}^l(\lambda)}}\\ &=mc\frac{g_{ab}(\gamma(\lambda))\,\,\dot{\gamma}^b(\lambda)}{c}\\ &=m\cdot g_{ab}(\gamma(\lambda))\,\, \dot{\gamma}^b(\lambda) \end{align}$$ Daher können Sie jetzt deutlich sehen, dass es keinen Grund dafür gibt, dass dies für alle identisch Null ist$\lambda$.

Dies ist ein sehr grundlegendes Notations- und Definitionsproblem, das ich in der folgenden MSE-Antwort über die "Mehrdeutigkeit" der expliziten und impliziten Funktion einer Variablen zu Tode prügele (ja, das ist ein grundlegendes Problem, aber ich denke wirklich, dass Sie davon profitieren könnten vorsichtiger mit den Grundlagen).

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Andere Verbindungen

Unten sind einige Antworten, die ich geschrieben habe, die Ihnen meiner Meinung nach helfen könnten, einige wirklich grundlegende Probleme zu klären (insbesondere, da ich erkläre, wo genau die Nachlässigkeit der physikalischen Notation auftritt und wo die "Fallstricke" liegen. Sobald Sie diese "Fallstricke" kennen, Sie können natürlich wieder schlampig/prägnant schreiben)

• Differenzierung im geodätischen Problem . Hier geht es bei OPs Frage darum, wie man sich das vorstellen kann$x, \dot{x}$als unabhängige Variablen für die partielle Differenzierung (also nicht direkt mit Ihrer Frage hier zusammenhängend), aber ich erkläre, wofür die Notation tatsächlich steht, und betone, wie wichtig es ist, den Überblick darüber zu behalten, was die Funktion ist und wo sie ausgewertet wird.

• Zweifel an gewöhnlicher und partieller Ableitung . Hier ist OP verwirrt über eine einfache Anwendung der Kettenregel (natürlich nicht Ihre Verwirrung hier), aber der Fehler, den das OP macht, ist derselbe wie der, den Sie machen, nämlich zwei Funktionen zu verwechseln$\Lambda$Und$L$, wobei ersteres durch eine bestimmte Zusammensetzung mit letzterem erhalten wird.

Es gibt bereits eine gute Antwort von peek-a-boo. Hier geben wir eine äquivalente Antwort aus der Perspektive der Aktion und nicht aus der Lagrange-Perspektive.

1. Erinnern Sie sich zunächst daran, dass die Aktion

   $$S[x]~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda ~L~=~-E_0 \Delta \tau \tag{1}$$ eines relativistischen massiven Teilchens ist minus der Ruheenergie$E_0=m_0c^2$mal die Änderung$\Delta \tau=\tau_f-\tau_i$zur rechten Zeit, vgl. zB dieser verwandte Phys.SE-Beitrag. Das Aktionsprinzip (1) maximiert also die Eigenzeit ! Der Lösungsweg ist in diesem Sinne eine Geodäte .

2. Erinnern Sie sich zweitens daran, dass das Prinzip der stationären Wirkung (1) konstruktionsbedingt die Endpunkte beibehält$\lambda_i$Und$\lambda_f$während der Variation fixiert.

TL;DR: Das Problem entsteht, weil OP versucht, den Worldline-Parameter zu korrigieren$\lambda=\tau$als Eigenzeit vor der Variation.

1. Als Konsequenz legt OP dann einerseits die Endpunkte fest$\lambda_i=\tau_i$Und$\lambda_f=\tau_f$.

2. Andererseits haben gemäß (1) alle Pfade (virtuell oder nicht) jetzt den gleichen Aktionswert, der von den Endpunkten angegeben wird! Das heißt, das Aktionsprinzip wurde unbrauchbar gemacht. Es kann nicht verwendet werden, um die tatsächliche Geodäte zu bestimmen.

Derselbe Punkt wird auch in meinen Phys.SE-Antworten hier und hier gemacht .

Um die geodätische Gleichung tatsächlich abzuleiten , siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.