Geodäten finden: Lagrange vs. Hamilton

Question

Geodäten finden: Lagrange vs. Hamilton

Benutzer46446

Ich habe eine Frage, die sich darauf bezieht, wie Geodäten einer bestimmten Raumzeit berechnet werden (z. B. Kerr).

Ich weiß, dass der direkte Weg über die geodätische Gleichung führt

\frac{D^{2} X^{μ}}{D λ^{2}} + Γ_{v κ}^{μ} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{κ} = 0.

$\frac{d^{2}x^{\mu}}{d\lambda^{2}}+\Gamma^{\mu}_{\nu\kappa}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\kappa}~=~0.$

Lesen Sie aber auch, dass man die geodätischen Gleichungen mit dem Lagrange-Formalismus aufschreiben kann. Nach dem, was ich bisher gesehen habe, gibt es zwei Ansätze: Entweder die Euler-Lagrange-Gleichungen mit Lagrange zu schreiben

L = \frac{1}{2} G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} .

$L~=~\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}.$

und dann sind die Euler-Lagrange-Gleichungen genau die geodätischen Gleichungen.

ODER: Schreiben Sie die Hamilton-Gleichungen unter Verwendung der obigen Lagrange-Gleichung auf und verwenden Sie diese Gleichungen dann als geodätische Gleichungen.

Meine Frage: Sind Euler-Lagrange- und Hamiltonian-Ansätze völlig gleichwertig, wenn es darum geht, die geodätischen Gleichungen aufzuschreiben? Hat das eine einen Vorteil gegenüber dem anderen?

Antworten (2)

Geodäten finden: Lagrange vs. Hamilton

Ryan Unger · Answer 1

Sie sind alle gleichwertig. Die Antwort auf Ihre andere Frage lautet: Der Hamiltonsche Ansatz funktioniert normalerweise am besten.

Geodäten können auf verschiedene Arten definiert werden, da die Verbindung der Raumzeit als Levi-Civita angenommen wird.

Lassen $(\mathcal{M},g)$ Raumzeit bezeichnen $\mathcal{M}$ mit Metrik $g$ Und $\gamma:\mathbb{R}\to M,t\mapsto \gamma(t)$ eine Kurve sein $\mathcal{M}$ . Wenn $\nabla$ die Levi-Civita-Verbindung in der Raumzeit ist, dann ist die geodätische Gleichung

\nabla_{\dot{γ}} \dot{γ} = 0,

$\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0,$ Wo

\dot{γ}

$\dot\gamma$ ist der Tangentenvektor von

γ

$\gamma$ . Einige Manipulationen können dies in die im OP angegebene Form bringen. Andererseits können wir das Längenfunktional definieren

ℓ [γ] := \int_{A}^{B} \sqrt{- G (\dot{γ}, \dot{γ})} D T .

$\ell [\gamma]:=\int_a^b\sqrt{-g(\dot\gamma,\dot\gamma)}\,\mathrm{d}t.$ (Das Negativ erscheint, weil

γ

$\gamma$ wird normalerweise für GR-Zwecke als zeitähnlich angesehen.) Dann kann das gezeigt werden

\frac{δ ℓ}{δ γ} = 0 ⟺ \nabla_{\dot{γ}} \dot{γ} = 0.

$\frac{\delta\ell}{\delta\gamma}=0\Longleftrightarrow\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.$ Das geodätische Problem von GR ist also eigentlich ein Problem vom Typ Euler-Lagrange mit Lagrange

L = \sqrt{- g (\dot{γ}, \dot{γ})}

$L=\sqrt{-g(\dot\gamma,\dot\gamma)}$ .

Wir können auch einen Hamiltonschen Ansatz erhalten. Wir stellen zunächst fest, dass das Energiefunktional ist

E [γ] = \frac{1}{2} \int_{A}^{B} G (\dot{γ}, \dot{γ}) D T

$E[\gamma]=\frac{1}{2}\int_a^bg(\dot\gamma,\dot\gamma)\,\mathrm{d}t$ hat identische Euler-Lagrange-Gleichungen wie das Längenfunktional. Beweis: Let

D

$D$ Betreiber sein

D F = \frac{D}{D T} \frac{\partial F}{\partial \dot{X}} - \frac{\partial F}{\partial X}

$Df=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial f}{\partial \dot x}-\frac{\partial f}{\partial x}$ Wo

f = f (x, \dot{x}, t)

$f=f(x,\dot x,t)$ , so dass

D f = 0

$Df=0$ die Euler-Lagrange-Gleichung für ist

f

$f$ . Das zeigt dann eine kurze Rechnung

D ℓ = ℓ \cdot D E

$D\ell=\ell\cdot DE$ , So

D ℓ = 0 ⟹ D E = 0

$D\ell=0\implies DE=0$ . Wir notieren das

H := \frac{1}{2} g (\dot{γ}, \dot{γ})

$H:=\frac{1}{2}g(\dot\gamma,\dot\gamma)$ erinnert an die

\frac{1}{2} m v^{2}

$\frac{1}{2}m\mathbf{v}^2$ Term des klassischen Freie-Teilchen-Hamiltonoperators. (Daher der Name Energiefunktional.)

Wir können dies phantasievoller für das Kotangensbündel tun $T^*\mathcal{M}$ . Trivialisieren Sie das Kotangensbündel lokal in einem Diagramm, sodass wir Koordinaten haben $(x^\mu,p_\mu)$ . Dann setzen

H (X, P) := \frac{1}{2} G^{μ v} (X) P_{μ} P_{v} .

$H(x,p):=\frac{1}{2}g^{\mu\nu}(x)p_\mu p_\nu.$ Die Hamiltonschen Gleichungen

{\dot{X}}^{μ} = \frac{\partial H}{\partial P_{μ}}, {\dot{P}}^{μ} = - \frac{\partial H}{\partial X^{μ}}

$\dot x^\mu=\frac{\partial H}{\partial p_\mu},\quad \dot p^\mu=-\frac{\partial H}{\partial x^\mu}$ entsprechen der geodätischen Gleichung. Die aus diesen Gleichungen erhaltene Strömung ist eine Hamilton-Strömung.

Es stellt sich heraus, dass der erste Hamilton-Ansatz sehr nützlich ist. Es ist ziemlich einfach, das Integral zu variieren $E[\gamma]$ . In Kombination mit der Killing-Methode zum Erhalten der ersten Integrale der geodätischen Gleichung ergibt dies eine bessere Strategie als das Berechnen der Christoffel-Symbole und das direkte Lösen der Gleichungen.

Es sollte beachtet werden, dass es eine andere Methode zum Lösen der geodätischen Gleichungen gibt: Wenden Sie die Methoden der Hamilton-Jacobi-Theorie auf das oben beschriebene Hamilton-System an. Diese Methode wird in N. Straumann, General Relativity (2013) verwendet, um die Geodäten der Kerr-Raumzeit zu finden. Siehe auch VI Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics (1989) für mehr über Hamiltonsche Systeme im Allgemeinen.

Es sollte angemerkt werden, dass der oben beschriebene Lagrange- und der Hamilton-Operator eigentlich keine Legendre-Transformationen voneinander sind.

QMechaniker · Answer 2

Die hessische Matrix
$\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} L_{0}}{\partial {\dot{X}}^{μ} \partial {\dot{X}}^{v}} = 2 G_{μ v} (X), det G_{μ v} (X) \neq 0, \end{matrix}$ $\tag{1} \frac{\partial^2 L_0}{\partial\dot{x}^{\mu}\partial\dot{x}^{\nu}}~=~2g_{\mu\nu}(x), \qquad \det g_{\mu\nu}(x)~\neq~0,$ von OPs Lagrange $\begin{matrix} (2) & L_{0} = G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} \end{matrix}$ $\tag{2} L_0~=~g_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$ ist nicht singulär. Dies bedeutet, dass die Legendre-Transformation regulär ist und daher die Lagrange- und Hamilton-Formulierung äquivalent sind, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Da OP jedoch Geodäten erwähnt , die Kurvenlängen extremisieren, sollte erwähnt werden, dass die zugrunde liegende Lagrange-Funktion tatsächlich die Quadratwurzel-Lagrange-Funktion ist
$\begin{matrix} (3) & L = - \sqrt{- G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}} \end{matrix}$ $\tag{3} L~=~-\sqrt{-g_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}$ eher als OPs Lagrangeian (2).
Die Äquivalenz zwischen den beiden Lagrange-Operatoren (2) und (3) wird zB in diesem Phys.SE-Beitrag im Riemann-Fall diskutiert .
Interessanterweise ist die hessische Matrix der Quadratwurzel-Lagrange (3) tatsächlich singulär, dh die Legendre-Transformation ist singulär, und es erscheint eine Einschränkung. (Dies hängt mit der Worldline-Reparametrisierungsinvarianz der entsprechenden Aktion für (3) zusammen.) Man kann jedoch immer noch die Äquivalenz zwischen der Lagrange- und der Hamilton-Formulierung z. B. durch die Dirac-Bergmann-Analyse zeigen. Dies geschieht zB in diesem Phys.SE Beitrag.

Geodäten finden: Lagrange vs. Hamilton

Benutzer46446

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Ryan Unger

QMechaniker

Prinzipieller Ansatz, um zum geodätischen Hamiltonoperator H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu zu gelangen?

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