Was ist falsch an meinem Argument, den Hamilton-Operator in der Relativitätstheorie abzuleiten?

In der Allgemeinen Relativitätstheorie (und auch speziell) die Lagrange-Funktion für ein Massenteilchen$m$in Abwesenheit von anderen Kräften als der Schwerkraft ist

$$L=m\sqrt{g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu}$$

Wo$U^\mu$ist die Vierergeschwindigkeit. In diesem Fall können wir das Momentum ableiten$p_\mu$von

$$p_\mu=\dfrac{\partial L}{\partial U^\mu}=\dfrac{\partial}{\partial U^\mu}m\sqrt{g_{\alpha\beta}U^\alpha U^\beta}$$

$$p_\mu=\dfrac{mg_{\alpha\beta}}{2\sqrt{g_{\alpha\beta}U^\alpha U^\beta}}\left(\delta^\alpha_\mu U^\beta+\delta^\beta_\mu U^\alpha\right)=\dfrac{mg_{\mu \alpha}U^\alpha}{\sqrt{g_{\alpha\beta} U^\alpha U^\beta}}$$

Wenn wir die Weltlinie durch Eigenzeit parametrisieren$\tau$Dann$L(\gamma(\tau),\gamma'(\tau))=m$und wir erhalten die Quadratwurzel aus dem Nenner, der gerade ist$1$. Dann

$$p_\mu= m g_{\mu\alpha}U^\alpha,$$

und dies sind die Komponenten eines Covektors. Dies führt direkt zum Impuls-Vier-Vektor

$$p^\mu= m U^\mu.$$

Hier funktioniert alles. Jetzt möchte ich die Energie berechnen. Nun, der Hamiltonian sollte wie immer sein

$$H=p_\mu U^\mu-m\sqrt{g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu}=m g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu-m\sqrt{g_{\mu \nu}U^\mu U^\nu}.$$

Aber wenn die Dinge durch Eigenzeit parametrisiert werden, wenn wir rechnen$H$auf dem Weg, das ist$H(\gamma(\tau),\gamma'(\tau))$wir bekommen null!

Was ich erwartet hatte, war zu bekommen$H = p^0$.

Was mache ich hier falsch? Warum bekomme ich null?