Hamiltonian für ein masseloses Teilchen - formale Definition von Energie

Question

Hamiltonian für ein masseloses Teilchen - formale Definition von Energie

Yildiz

Bei einem gegebenen Lagrange-Operator lassen sich Impulse und daraus der Hamilton-Operator berechnen, wenn das System regulär genug ist. Heute habe ich erkannt, dass der Lagrange-Operator eines masselosen Teilchens in einem Gravitationsfeld singulär ist und durch einen Constraint-Hamilton-Operator beschrieben wird. Hier ist mein Problem: Bei diesem Lagrange-Operator verschwindet der Hamilton-Operator immer; Wenn es immer Null ist, wie kann man dann von einer "Energie" sprechen, die mit einem masselosen Teilchen verbunden ist?

ACuriousMind

Die Energie eines masselosen Teilchens ist

E = p c

$E = pc$ , was hat der Hamiltonian damit zu tun? Der Hamilton-Operator ist nicht immer die "Energie", insbesondere nicht, wenn das System eingeschränkt oder zeitreparametrisierungsinvariant ist.

Yildiz

Ich stimme Ihnen zu, jedenfalls suchte ich nach einer formalen Definition von Energie im Kontext der Hamiltonschen Theorie. Für ein freies nichtrelativistisches System ist die Antwort einfach: Die Energie ist der Hamiltonoperator, aber im relativistischen Fall gibt es normalerweise keinen Hamiltonoperator, wenn ja, woher kommt die Definition von Energie?

ACuriousMind

Die Energie ist die Noether-Ladung, die mit Translationen in der Zeitvariablen verbunden ist (die normalerweise eine Phasenraumvariable ist und nicht der Evolutionsparameter (der die Eigenzeit ist) in der relativistischen Einstellung).

Yildiz

Ich wusste es, und hier ist mein Zweifel: Was meinen Sie im Zusammenhang mit der allgemeinen Relativitätstheorie mit Zeitvariable? Wenn es die x-Null-Koordinate ist, ist die Lagrange-Funktion nicht unveränderlich, ist es also der Evolutionsparameter, normalerweise Lambda genannt?

JamalS

@Yildiz Wie er sagte, entspricht die Energie der Noether-Ladung, die mit Zeitübersetzungen verbunden ist. Wenn die Theorie unter Lorentz-Transformationen invariant ist, können Sie die Energie aus dem Spannungs-Energie-Tensor extrahieren

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ die berechnet werden kann, indem eine Variation des Lagrange-Operators in Bezug auf die Metrik, Modulo-Faktoren von metrischen Determinanten und Konstanten genommen wird. Wenn es jedoch um ein System geht, das eingeschränkt oder zeitreparametrisierungsinvariant ist, dann gibt es andere Komplikationen, wie ACuriousMind betonte.

Yildiz

Du hast Recht, ich habe in meiner letzten Nachricht falsche Dinge gesagt: jetzt ist alles klar, danke :)

Yildiz

Heute habe ich an einen besonderen Fall gedacht: In der Freedman-Robertson-Metrik ist die Lagrange-Funktion für ein masseloses Teilchen aufgrund des Skalierungsfaktors nicht invariant für die Zeitverschiebung, wie kann man also von der Energie eines Photons sprechen, wenn es keine gibt Kein Strom?

Yildiz

Es scheint mir, dass es im Kontext der allgemeinen Relativitätstheorie nicht möglich ist, allgemein von einer "Energieerhaltung" zu sprechen, da die Metrik normalerweise keine Koordinatenübersetzung zulässt, habe ich recht?

Antworten (1)

Hamiltonian für ein masseloses Teilchen - formale Definition von Energie

Die Energie eines masselosen Teilchens ist $E = pc$ , was hat der Hamiltonian damit zu tun? Der Hamilton-Operator ist nicht immer die "Energie", insbesondere nicht, wenn das System eingeschränkt oder zeitreparametrisierungsinvariant ist.
Ich stimme Ihnen zu, jedenfalls suchte ich nach einer formalen Definition von Energie im Kontext der Hamiltonschen Theorie. Für ein freies nichtrelativistisches System ist die Antwort einfach: Die Energie ist der Hamiltonoperator, aber im relativistischen Fall gibt es normalerweise keinen Hamiltonoperator, wenn ja, woher kommt die Definition von Energie?
Die Energie ist die Noether-Ladung, die mit Translationen in der Zeitvariablen verbunden ist (die normalerweise eine Phasenraumvariable ist und nicht der Evolutionsparameter (der die Eigenzeit ist) in der relativistischen Einstellung).
Ich wusste es, und hier ist mein Zweifel: Was meinen Sie im Zusammenhang mit der allgemeinen Relativitätstheorie mit Zeitvariable? Wenn es die x-Null-Koordinate ist, ist die Lagrange-Funktion nicht unveränderlich, ist es also der Evolutionsparameter, normalerweise Lambda genannt?
@Yildiz Wie er sagte, entspricht die Energie der Noether-Ladung, die mit Zeitübersetzungen verbunden ist. Wenn die Theorie unter Lorentz-Transformationen invariant ist, können Sie die Energie aus dem Spannungs-Energie-Tensor extrahieren $T^{\mu\nu}$ die berechnet werden kann, indem eine Variation des Lagrange-Operators in Bezug auf die Metrik, Modulo-Faktoren von metrischen Determinanten und Konstanten genommen wird. Wenn es jedoch um ein System geht, das eingeschränkt oder zeitreparametrisierungsinvariant ist, dann gibt es andere Komplikationen, wie ACuriousMind betonte.
Du hast Recht, ich habe in meiner letzten Nachricht falsche Dinge gesagt: jetzt ist alles klar, danke :)
Heute habe ich an einen besonderen Fall gedacht: In der Freedman-Robertson-Metrik ist die Lagrange-Funktion für ein masseloses Teilchen aufgrund des Skalierungsfaktors nicht invariant für die Zeitverschiebung, wie kann man also von der Energie eines Photons sprechen, wenn es keine gibt Kein Strom?
Es scheint mir, dass es im Kontext der allgemeinen Relativitätstheorie nicht möglich ist, allgemein von einer "Energieerhaltung" zu sprechen, da die Metrik normalerweise keine Koordinatenübersetzung zulässt, habe ich recht?

QMechaniker · Answer 1

Kommentare zum Beitrag (v3):

Der Begriff des Hamilton-Operators und der Begriff der Gesamtenergie müssen nicht übereinstimmen, vgl. diesen Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links. Die Gesamtenergie ist die Noether-Ladung, die mit Zeitübersetzungen verbunden ist. In der Relativitätstheorie hängt der Zeitbegriff (und damit der Energiebegriff) vom gewählten Koordinatensystem ab. Insbesondere ist der Begriff Gesamtenergie (anders als der Begriff der Ruheenergie) keine Invariante. Siehe auch obige Kommentare von ACuriousMind & JamalS.
Im Kontext zB der Minkowski-Metrik oder der FLRW-Metrik
$\begin{matrix} (1) & D S^{2} = \sum_{μ, v = 0}^{3} G_{(4) μ v} D X^{μ} ⊙ D X^{v} = - D X^{0} ⊙ D X^{0} + A (X^{0})^{2} \sum_{ich, J = 1}^{3} G_{(3) ich J} D X^{ich} ⊙ D X^{J}, \end{matrix}$ $ds^2~=~\sum_{\mu,\nu=0}^3g_{(4)\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\odot \mathrm{d}x^{\nu}~=~-\mathrm{d}x^0\odot \mathrm{d}x^0+a(x^0)^2\sum_{i,j=1}^3g_{(3)ij}\mathrm{d}x^i\odot \mathrm{d}x^j ,\tag{1}$ Es ist möglich, den Hamilton-Operator zu machen $H$ für ein masseloses Punktteilchen gleich der Gesamtenergie $\begin{matrix} (2) & C | P | := C \sqrt{\sum_{ich, J = 1}^{3} P_{ich} G^{(4) ich J} P_{J}} = \frac{C}{A (X^{0})} \sqrt{\sum_{ich, J = 1}^{3} P_{ich} G^{(3) ich J} P_{J}} \end{matrix}$ $c|{\bf p}|~:=~c\sqrt{\sum_{i,j=1}^3 p_i g^{(4)ij}p_j}~=~\frac{c}{a(x^0)}\sqrt{\sum_{i,j=1}^3 p_i g^{(3)ij}p_j} \tag{2}$ durch Wahl der statischen Messbedingung $x^0=c\tau$ , Wo $\tau$ ist der Weltlinienparameter (der nicht die Eigenzeit ist). Für Details siehe zB diesen Phys.SE Beitrag. Beachten Sie, dass die Gesamtenergie (2) im FLRW-Fall aufgrund des Skalierungsfaktors nicht erhalten bleibt $a(x^0)$ mit expliziter Zeitabhängigkeit.

Danke Qmechanic, aber ich kann das statische Messgerät in meinem Fall nicht verwenden. Wenn ich versuche, es zu verwenden, definiere ich auch die Faktorskala, und das ist inkonsistent.
Der Lagrange-Wert ist ein Lagrange-Parameter multipliziert mit der Einschränkung mit einer flachen FRW-Metrik. Wenn Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen für die Dynamik der Zeitkoordinate berechnen, finden Sie eine einfache Beziehung: Die Ableitung der Zeitkoordinate nach dem Evolutionsparameter ist gleich dem Kehrwert des Faktors Skala mal einer Konstante. Wenn Sie an dieser Stelle die Zeitkoordinate t als freien Parameter festlegen, fixieren Sie die Faktorskala auf eine Konstante: Das ist mein Problem.
Verzeihen Sie, wenn ich keine Formeln posten kann, aber ich weiß nicht, wie ich es machen soll: Trotzdem habe ich mein Bestes gegeben, um das Problem zu erklären.
Sie müssen lernen, Formeln einzugeben. Es ist wirklich ganz einfach. Klicken Sie bei anderen Beiträgen auf die Schaltfläche „Bearbeiten“, um nachzuvollziehen, wie es gemacht wird (ohne tatsächlich eine Bearbeitung vorzunehmen). Oder siehe hier und Links darin.
Der Lagrange ist $L = g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}\lambda$ Wo $\lambda$ ist ein Lagrange-Multiplikator und $g_{\mu\nu}$ ist die FRW-Metrik mit ${a}$ als Faktorskala. Die Dynamik im $x^{0}$ wird von gegeben $\partial x^{0}/\partial {t}= 1/ {a}$ und wie Sie sehen können, wenn ich das statische Messgerät wähle $x^{0}=ct$ , $a$ wird zur Konstante. Bedeutet das, dass ich einen falschen Lagrange verwende?
Die Beziehung $x^{0}=ct$ ist eine Definition. Es ist nicht der Zustand der statischen Anzeige $x^0=c\tau$ , Wo $\tau$ ist der Weltlinienparameter (der nicht die Eigenzeit ist).
Es ist nicht die statische Anzeige und du hast Recht, jedenfalls wenn du es einstellst $x^{0}=t$ , $a$ wird eindeutig definiert und dies stellt einen Konflikt mit der Reparametrisierungsinvarianz dar, stimmen Sie mir zu?
Vor der Anwendung von EFE (dh Friedmann-Gleichungen ) ist der Skalierungsfaktor $a$ ist grundsätzlich willkürlich.
Ok, aber ich würde diesen Lagrangian gerne mit dem von Einstein-Hilbert koppeln, und in diesem Fall kann man nicht sagen, dass die Faktorskala willkürlich ist.

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