Einfacher (klassischer, nicht gedämpfter) harmonischer 1D-Oszillator - wie kann man die elliptische Trajektorie des Phasenraums in polarer Form für eine Ellipse darstellen?

Betrachtet man einen klassischen, nicht gedämpften harmonischen 1D-Oszillator (zB Masse M mitschwingen X -Achse an Feder mit Konstante befestigt k ) -- beschrieben von Hamiltonian (für konstante Energie E )

E = P 2 / 2 M + k X 2 / 2 ,
welches System einer elliptischen Bahn im entsprechenden Phasenraum folgt ( P , X ) :

Ich möchte eine Gleichung für diese Phasenraumbahn in Polarform für eine Ellipse (Ursprung im Ellipsenmittelpunkt) mit großen/kleinen Halbachsen formulieren A / B , unter Verwendung der Standard-Polarform:

R ( θ ) = A B ( B cos ⁡ ( θ ) ) 2 + ( A Sünde ⁡ ( θ ) ) 2

Ich bin ratlos, was "a" und "b" in Bezug auf "m", "k" und "E" wären. Können Sie vorschlagen, was sie sein könnten?

Es scheint, dass das Quadrat des Ellipsenradius im Allgemeinen in Energieeinheiten (kg-m ^ 2 / s ^ 2) wäre, also versuche ich herauszufinden, was "a" und "b" wären so dass r^2(theta) somit in Energieeinheiten wäre. Oder liege ich falsch in der Annahme R 2 ( θ ) wäre in Energieeinheiten?

Alle Einsichten/Vorschläge sind willkommen.

Eine Ellipse hat kein "Zentrum": Sie hat zwei Brennpunkte. Ebenso hat es keinen Radius ...
OK, mein Fehler, nicht richtig beschrieben zu haben. Ich wollte wie hier beschrieben vermitteln (mit "Zentrum" auf der großen Halbachse auf halbem Weg zwischen den Brennpunkten): en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Polar_form_relative_to_center
OK, das wurde bearbeitet.

Antworten (1)

Es gibt nicht viel zu empfehlen. Schreiben Sie Ihre Gleichung einfach in Form von dimensionslosen Größen/Verhältnissen:

1 = X 2 2 E / k + P 2 2 E M     ⇝ A = 2 E / k ,     B = 2 E M .
Das heißt jetzt, dass die große Halbachse a in Längeneinheiten und die kleine Halbachse b in Impulseinheiten angegeben ist. Angenommen, weder verschwindet noch explodiert, wenn Sie x in Einheiten von a und p in Einheiten von b messen , haben Sie wirklich einen Kreis.

Wenn Sie Raumamplituden und Impulse in festen Einheiten messen, dann sind a und b auch dimensionslose Zahlen multipliziert mit diesen gleichen Einheiten; dies wird Nichtdimensionalisierung genannt. Geben Sie ihnen die gleichen Namen in der Polarform,

R ( θ ) = 1 cos ⁡ ( θ ) 2 / A 2 + Sünde ⁡ ( θ ) 2 / B 2     .

Das ist dann klar R ( 0 ) = A , Und R ( π / 2 ) = B . Es hat keinen Sinn, die Achsen der Ellipse mit unterschiedlich dimensionierten Einheiten zu beschriften, da Größen wie r etwas widersprüchlich definiert sind und Leser verwirren würden, die der obigen Diskussion nicht gefolgt sind. Die Nichtdimensionalisierung ist also die einfachste Option.

Kommentar bearbeiten :

Nein, die Exzentrizität ist nicht aussagekräftig, da die Einheiten von x und die von p unterschiedlich sind. Sie können wählen , x in m und p in kg m/s zu messen , was a=A m und b= B kg m/s festlegt , in welchem ​​Fall die reine numerische Exzentrizität wäre

e = 1 − B 2 / A 2   ,
aber wenn Sie x in 1/2 m messen würden , wäre A doppelt so groß wie das vorherige A und die Exzentrizität wäre anders. Der obige Ausdruck für r hat die dimensionslosen Zahlen A und B anstelle von a und b , sobald Sie Ihre Einheiten festgelegt haben.

Durch Umskalieren der Abszisse oder der Ordinate wird der Kreis also an eine Ellipse mit beliebiger Exzentrizität angepasst. Umgekehrt ist die generische Oszillator-Phasenraum-Trajektorie in natürlichen Einheiten immer ein Kreis, wie das standardmäßige nichtdimensionale Bild ergibt, und sich mit Ellipsen herumzuärgern ist konzeptionell eine Nichtstun-Maschine.

Ich denke, ich folge Ihrer Antwort, indem ich die Variablensubstitutionen mache, zum Beispiel X=x*sqrt(k/2E) und P=p/sqrt(2Em) habe ich den Kreis P^2+X^2= 1. In der obigen Gleichung für r(theta) habe ich mich geirrt, als ich dachte, dass die Einheiten von a und b gleich sein müssten, um "cos^2(theta)/a^2" und "sin^" addieren zu können 2(theta)/b^2". Gibt es ein sinnvolles Maß für die Exzentrizität (sqrt(1-b^2/a^2)) der Ellipse 1=x^2/a^2 + p^2/b^2 , auch wenn a und b dies nicht tun haben die gleichen Einheiten? Nochmals vielen Dank für Ihre Hilfe.
Einfacher (klassischer, nicht gedämpfter) harmonischer 1D-Oszillator - wie kann man die elliptische Trajektorie des Phasenraums in polarer Form für eine Ellipse darstellen?
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