Wie leitet man die Zeitperiodengleichung für ein Feder-Masse-System unter Berücksichtigung der Masse der Feder ab, ohne eine Energieanalyse einzubeziehen?

Ich möchte wissen, wie man die Zeitperiodengleichung eines Feder-Masse-Systems herleitet, das die Masse der Feder berücksichtigt, aber nicht mit der Energieanalysemethode, sondern indem man auf die gleiche Weise vorgeht, wie wir es tun, indem man die Masse der Feder ignoriert. Bitte helfen Sie. Ich habe keine Texte auf meinem Niveau gefunden. Irgendwelche Links würden dankend genügen.

Wenn Sie die Masse der Feder berücksichtigen, erhalten Sie am Ende eine Wellengleichung, die an eine Masse am Ende des elastischen Mediums der Feder gekoppelt ist. Das Ergebnis ist ein System, das nicht nur eine Periode hat, sondern ein ganzes Kontinuum von Lösungen. Wenn Sie das nicht wollen, müssen Sie die Masse der Feder irgendwo entlang der Feder platzieren. Wenn Sie es auf das feste Ende setzen, spielt die Federmasse keine Rolle. Wenn Sie es auf das Massenende legen, trägt es einfach zur Masse bei. Wenn Sie es woanders platzieren, dann haben Sie wieder ein System mit zwei masselosen Federn und zwei Massen, das zwei Frequenzen hat.
Die Masse der Feder irgendwo entlang der Feder als Annahme am Anfang zu platzieren, ergibt einen falschen Ausdruck. Aus der Energieanalyse weiß ich, dass die effektive Masse des gesamten Federmassensystems M+(m/3) ist, wobei M die Masse des befestigten Blocks und m die der Feder ist. Aber ich möchte die Methode der Integration und Differentialgleichungen verwenden, anstatt die kinetische Energie und die potentielle Energie zu nehmen, um den Effekt zu sehen.
Wenn die Masse der Feder homogen entlang der Feder verteilt ist, dann ist das System kein einfacher harmonischer Oszillator mit effektiver Masse, sondern ein elastisches Medium, das einer Wellengleichung folgt. Soweit ich sehen kann, spielt es keine Rolle, was Sie tun, die effektive Massenbehandlung ist mit beiden Annahmen schlichtweg falsch.
Ich denke, dass jedes unendlich kleine Element auf der Feder als einzelne Masse eine einfache harmonische Bewegung erfährt. en.wikipedia.org/wiki/… und es muss eine Möglichkeit geben, diese kleinen Shms zu integrieren, um die Bewegungsgleichung des gesamten Systems zu finden.
Nur wenn man zusätzlich annimmt, dass M>>m UND keiner der Freiheitsgrade der Feder angeregt wird. Dann können Sie sich vorstellen, jedes kleine Massenelement auszutauschen D M mit einem masselosen Stab und einem äquivalenten Massenelement D M ~ mit der Hauptmasse M bewegt. Da die einzelnen Massenelemente D M die näher an der Wand sind, wirken auf eine kürzere (und damit steifere) Feder, die wirksame Masse ihres virtuellen Gegenstücks D M ~ parallel zu M bewegen muss kleiner als diese sein D M die näher an M liegen. Wenn Sie die Gewichtsfaktoren integrieren, sollten Sie am Ende 1/3 erhalten.

Antworten (1)

Ich musste die gleiche Frage lösen. Folgendes habe ich getan: -

Angenommen, wir haben eine Massefeder M mit Masse M daran befestigt, gegen die Schwerkraft aufgehängt. Nehmen Sie an, dass die Masse der Feder gleichmäßig über ihre Länge verteilt ist. Wir können uns also vorstellen, dass unsere Quelle in unendlich kleine Quellen unterteilt ist. Jede kleine Feder hat ihre eigene Schwingungsrate, abhängig von der von ihr gefühlten effektiven Masse. Angenommen, die Länge der Feder liegt entlang X Achse mit Ursprung an der unteren Spitze der Feder.

Nehmen wir nun an, dass wir die Feder vollständig zusammengedrückt haben, so dass sie nicht mehr gegen ihr festes Selbst zusammengedrückt werden kann. Lassen Sie die Länge der Feder in diesem Zustand sein L . Nun zu einem kleinen beabstandeten Federelement X von unten in diesem Zustand, Zeitraum T der Oszillation wird gegeben durch

T = 2 π M . X L + M k

Hier, k die Federkonstante des Federelements ist.

Also Frequenz F der einfachen harmonischen Bewegung kann gegeben werden durch

F = k M . X L + M

Wir wissen, dass jedes Federelement eine andere Schwingungsfrequenz hat. Vereinfachend und näherungsweise können wir uns die gesamte Feder so vorstellen, dass die Frequenz des Federelements in der Mitte der Feder liegt.

Für den Zeitraum des gesamten Frühlings erhalten wir also

T = 2 π M 2 + M k

Problem gelöst...!

Beachten Sie, dass diese Lösung nur für eine kurze Zeitdauer gültig ist, nachdem die Feder oszillieren gelassen wurde. Wenn wir zum Beispiel die Feder mehrere Minuten lang schwingen lassen, werden wir anfangen, Diskrepanz zu beobachten. Aber für eine kurze Zeitdauer seit Beginn des Experiments werden die Ergebnisse ziemlich genau sein.

Bearbeiten: Ich habe gerade mein Physiklaborhandbuch überprüft, das die folgende Gleichung enthält T :

T = 2 π M 3 + M k

Meine Antwort lag also nahe. Meine Annäherung erweist sich als zu grob, und anstatt davon auszugehen, dass die Frequenz des gesamten Systems in der Nähe der des Federelements liegt, können wir eine bessere Annäherung erhalten, wenn wir davon ausgehen, dass sie ein Drittel von unten ist, für die der Rechnung halber ...

Die Gleichung im Buch ist auch ungefähr, man muss sich daran erinnern.

Wie leitet man die Zeitperiodengleichung für ein Feder-Masse-System unter Berücksichtigung der Masse der Feder ab, ohne eine Energieanalyse einzubeziehen?
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