Maximale Anzahl Erhaltungsgrößen (klassische Integrierbarkeit)

I) Lemma: Auf a$2d$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit $(M,\{\cdot,\cdot\})$, kann es höchstens geben$d$unabhängige Größen, die Poisson pendelt.

Indirekter Beweis: Angenommen

$$\text{There exist }d+1 \text{ independent quantities } (F^1, \ldots , F^{d+1}) \text{ that Poisson commute.} \tag{1}$$ Betrachten Sie einen Fixpunkt $p\in M$. (Es spielt keine Rolle, welche.) Definieren Sie a $d+1$-dimensionaler Unterraum $$W~:=~{\rm span}_{\mathbb{R}} \{ \mathrm{d}F^1_p, \ldots, \mathrm{d}F^{d+1}_p \} ~\subseteq~T^{\ast}_pM. \tag{2}$$ Die senkrechte Ergänzung$W^{\perp}$wrt. die symplektische Struktur ist dann $d-1$dimensional. Aus Annahme (1) folgt das $$W ~\subseteq~ W^{\perp} \tag{2}$$ ist ein isotroper Unterraum . Widerspruch. $\Box$

II) Zurück zur Frage von OP: Wenn$H$ist keine Funktion der$F$'s, dann gäbe es$d+1$unabhängige Größen, die Poisson pendelt. Widerspruch.

Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Satz: Sei$M$sei ein$2d$-dimensionaler Phasenraum und$F_{1},\ldots F_{d+1}:M \to \mathbb{R}$Funktionale sein, die Poisson irgendwann pendeln$P$. Dann der Satz

$$\left\{\frac{dF_{1}}{d\mathbf{x}},\ldots \frac{dF_{d+1}}{d\mathbf{x}}\right\}$$ linear abhängig ist $p$, Wo $$\frac{df}{d\mathbf{x}}:=\left(\frac{\partial f}{\partial q_{1}}\ldots \frac{\partial f}{\partial p_{n}}\right)$$ Und $(q_{1},\ldots q_{n},p_{1},\ldots ,p_{n})$sind Koordinaten an $M$.

Lemma: Die Menge

$$\left\{\frac{dF_{1}}{d\mathbf{x}},\ldots \frac{dF_{d}}{d\mathbf{x}}\right\}$$ wenn und nur wenn der Satz $$\left\{\frac{dF_{1}}{d\mathbf{q}},\ldots \frac{dF_{d}}{d\mathbf{q}}\right\}$$ ist linear unabhängig.

Beweis von Lemma: Eine Richtung ist trivial. Für den anderen, nehme an$\left\{\frac{dF_{i}}{d\mathbf{x}}\right\}$ist linear unabhängig, und

$$\sum_{i=1}^{d}\alpha_{i}\frac{dF_{i}}{d\mathbf{q}} = 0$$ Nimmt man das Skalarprodukt, $$\sum_{i=1}^{d} \alpha_{i}\frac{dF_{i}}{d\mathbf{q}}\cdot \frac{dF_{j}}{d\mathbf{p}} = 0$$ $\{F_{i},F_{j}\} = 0$, So $$\frac{dF_{i}}{d\mathbf{p}}\cdot \frac{dF_{j}}{d\mathbf{q}} = \frac{dF_{i}}{d\mathbf{q}}\cdot \frac{dF_{j}}{d\mathbf{p}}$$ So $$\left(\sum_{i=1}^{d} \alpha_{i}\frac{dF_{i}}{d\mathbf{p}}\right)\cdot \frac{dF_{j}}{d\mathbf{q}} = 0$$ Ich möchte daraus ableiten, dass der Vektor in Klammern ist $0$(seitdem können wir die lineare Unabhängigkeit von erben $\frac{dF_{i}}{d\mathbf{x}}$). Natürlich haben wir, dass es orthogonal zu ist $d$Vektoren ein $\mathbb{R}^{d}$, aber wenn wir nicht wissen, dass sie linear unabhängig sind, können wir meiner Meinung nach nichts ableiten.