Topologie des Phasenraums

Ich werde dieses versuchen.

Ein Hamiltonsches System ist (vollständig) integrierbar, das heißt, es gibt sie$n$($n=$Anzahl der Dimensionen) unabhängige Bewegungsintegrale (beachten Sie, dass vollständig integrierbare Hamilton-Systeme sehr selten sind, fast alle Hamilton-Systeme sind nicht vollständig integrierbar ).

Was dies im Wesentlichen (und intuitiv) aussagt, ist das Hamiltonsche Dimensionssystem$n$kann in ein kartesisches Produkt einer Menge von zerlegt werden$n$unabhängige Teilsysteme (z. B. in Aktionswinkeldarstellung), die minimal miteinander gekoppelt sind.

Diese Zerlegung in ein kartesisches Produkt von$n$Unabhängige Systeme (von denen jedes begrenzte Energie hat, da das gesamte System begrenzte Energie hat), bedeutet topologisch ist das$n$-dimensionaler Torus$S^1 \times S^1 \times ... \times S^1$($n$Faktoren), die kompakt ist (begrenztes System ist topologisch kompakt).

Hinweis $S^1$, bedeutet wörtlich topologischen Kreis oder topologischen$1$-dimensionale Sphäre . Was es bedeutet, ist, dass es (da dies Topologie und nicht Geometrie ist) einen kompakten, begrenzten 1-dimensionalen Raum (1-Parameter-Raum) darstellt. Also ein Hamiltonsches System mit$n$unabhängige Parameter (integrierbar) ist (sollte lokal sein) topologisch das kartesische Produkt von$n$(abstrakt)$S^1$Leerzeichen ($1$für jeden Parameter/Dimension)

Jeder$S^1$Der Raum stellt einen einfachen harmonischen Oszillator dar (ein einfaches periodisches System, oder anders gesagt ein System, das sich auf einem Kreis bewegt, siehe den Zusammenhang mit$S^1$Leerzeichen).

Wenn ein (vollständig) integrierbares hamiltonisches System zerlegt wird in$n$unabhängige Subsysteme, im Wesentlichen bedeutet dies, dass es (lokal, in jeder Nachbarschaft eines Punktes des Systemphasenraums) linearisiert und als Stapel von (unabhängigen) harmonischen Oszillatoren (Stapeln von) dargestellt werden kann$S^1$Leerzeichen). Dies ist der grundlegende Satz von Liouville-Arnold über die Hamilton-Dynamik

Ein einfaches Beispiel für ein 3-dimensionales (eigentlich 2-dimensionales, da der Konfigurationsraum die Oberfläche einer Kugel ist) hamiltonisches System, das vollständig integrierbar ist, finden Sie unter dem Kugelpendel und dessen Analyse

Das Kugelpendel ist ein 2-dimensionales System (daher ist der Phasenraum 4-dimensional) und hat ein zweites Bewegungsintegral des Moments um die vertikale Achse .

(ein Link zu einer weiterführenden Analyse der Pendeldynamik ).

Mit anderen Worten: Das Ganze ist nur die Summe seiner Teile .

Was wäre der Hamiltonsche Raum von a (zum Beispiel$2$-dimensionales) System, dessen Dimensionen nicht unabhängig (nicht integrierbar) sind.

Das bedeutet, dass die Dimensionen korreliert sind und nicht in unabhängige Subsysteme zerlegt werden können (z$2$-dimensionaler Torus$S^1 \times S^1$), also ist es topologisch a$2$-dimensionale Sphäre ($S^2$).

In einem$2$-dimensionale Sphäre die$2$Dimensionen sind korreliert und können nicht flach gemacht werden (d. h. können nicht linearisiert und in einen flachen Raum derselben Dimension abgebildet werden, im Gegensatz zu a$2$-dimensionaler Torus, hat also eine sogenannte Eigenkrümmung).

Darauf ein wenig eingehen.

Wenn man den 2-dimensionalen Torus natürlich als 3D-Objekt sieht (in der Tat bedeutet dies eingebettet in einen flachen euklidischen 3D-Raum), hat er eine Krümmung. Dies wird als "äußere" Krümmung bezeichnet, die von der Einbettung in einen 3D-Raum herrührt. Aber wenn man den 2-dim-Torus als eine 2-dimensionale Fläche für sich betrachtet, hat er keine (Null-)Krümmung. Dies wird als (Eigen-)Krümmung (im Sinne von Riemann) bezeichnet.

Wenn man den 2-dimensionalen Torus nimmt und ihn schneidet und auseinanderfaltet, erhält man den 2-dimensionalen Zylinder . Schneidet man den 2-dim Zylinder weiter und entfaltet ihn, erhält man eine 2-dimensionale ebene Fläche. Das bedeutet, dass die (Eigen-)Krümmung des 2-dim-Torus null ist und in einen flachen Raum der gleichen Dimension abgebildet werden kann .

Für die 2-dim-Kugel ist dies nicht möglich . Es kann auf keinen Fall geschnitten und in eine flache Oberfläche mit denselben Abmessungen abgebildet werden . Es hat eine (intrinsische) Krümmung ungleich Null, und dies ist auch ein Maß weg von der Ebenheit (und auch ein Maß für die Dimensionskorrelation). Ein Beispiel sind Karten der Erde (2-dimensionale Kugeloberfläche) auf einem flachen Papier, man sieht, dass die Karte Verzerrungen enthält, da es keine Abbildung einer Kugel auf eine flache Oberfläche gibt.

Wenn man andererseits eine flache 2-dim-Oberfläche nimmt und eine Grenze periodisch macht, erhält man einen 2-dim-Zylinder, wenn man die andere Grenze ebenfalls periodisch macht, erhält man den 2-dim-Torus.

Im Allgemeinen sind die Bedingungen, unter denen ein gegebenes Hamiltonsches System (vollständig) integrierbar ist, ein sehr schwieriges Problem .

Eine weitere Möglichkeit, dies zu sehen, ist eine Analogie mit Wahrscheinlichkeitsräumen. Stellen Sie sich 2 Ereignisräume von 2 physikalischen Systemen vor, die aus 2 Parametern bestehen (sagen wir 2 Münzen).$\Omega_{12}$und$\Omega_{AB}$.

Wenn das System integrierbar ist (d.h. die Parameter unabhängig sind , d.h$P(1|2) = P(1)$) dann den Veranstaltungsraum$\Omega_{12}$ist das kartesische Produkt jedes Unterraums$\Omega_1 \times \Omega_2$. Und jedes Ergebnis des Gesamtsystems ist nur das Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes Teilsystems.

Betrachten Sie nun ein zweites System, bei dem die Münzen korreliert sind, dh$P(A|B) \ne P(A)$.

Dieser Raum$\Omega_{AB}$ kann nicht in 2 unabhängige Unterräume zerlegt werden$\Omega_A$,$\Omega_B$als ihr kartesisches Produkt, da die Unterräume nicht unabhängig sind . Dies entspricht einem nicht integrierbaren Hamiltonschen System (und einem topologischen$2$-d Kugel).

Das Analogon der statistischen Unabhängigkeit in Wahrscheinlichkeits-Ereignisräumen für hamiltonsche Systeme ist genau die Existenz und funktionale (genauer gesagt Poisson-) Unabhängigkeit der entsprechenden Anzahl von Bewegungsintegralen (vollständige Integrierbarkeit).

Mit anderen Worten, für ein nicht integrierbares System ist das Ganze mehr als die Summe seiner Teile .

Hoffe, das ist nützlich für Sie

PS. Vielleicht möchten Sie auch Folgendes überprüfen: Holonomisches System , Nicht-holonomisches System , Integrierbares System

Der Satz von Liouville Arnol besagt, dass ein integrierbares Hamilton-System gegeben ist und mit bezeichnet wird

$$M_a'=\{(q,p)\in\Gamma:f_i(q,p,t)=a_i\}$$ die zusammenhängende Komponente der Ebene setzt aller ersten Integrale, dann die Einschränkung der Fundamentalform an $M_a'$ $$p\cdot dq\Big|_{M_a'}$$ gleich $dS(q,a)$wo $S$ist das erzeugende Funktional der kanonischen Transformation $^\dagger$ $\mathscr{C}:(q,p)\mapsto(b=\partial_aS,a)$, dh diese Transformation derart, dass der transformierte Hamiltonian nur von neuen Impulsen abhängt $$H\circ\mathscr{C}^{-1}(b,a)=H(q,\partial_qS)=K(a).$$ Daher $\mathscr{C}$bildet Ihr ursprüngliches System in eines ab, für das die Dynamik wirklich einfach ist, und zwar aus dem neuen hamiltonischen System $$\begin{array}{ccc}\dot{b}&=&\partial_aK\\\dot{a}&=&-\partial_bK=0.\end{array}$$ Wenn $M_a'$kompakt ist dann unsere dynamischen Variablen $(b,a)$kann als Winkel gedacht werden $\varphi$auf einem Torus, der durch eine konstante Wirkung gekennzeichnet ist $I$. In diesem Fall sind die Lösungen der obigen Gleichungen $$\begin{array}{cccc}\varphi(t)&=&\varphi_0+\partial_IKt&=\varphi_0+\omega_0t\\I(t)&=&I_0&=const.\end{array}$$ $\dagger$Eine Möglichkeit, eine kanonische Transformation aus dem „alten“ System zu definieren $(q,p,H,t)$zum ''Neuen'' $(Q,P,K,T)$, ist das zu fragen $\mathscr{C}$bewahrt die Poicare-Cartan 1-Form $$dA=p\cdot dq-Hdt$$ in dem Sinne, dass $A_{old}=cA_{new}+\Delta F(q,Q,t)$. Daraus folgt leicht das $\partial_qF=p$, $\partial_QF=-P$und $\partial_tF=K-H$, und führen Sie dann die Legendre-Transformation von durch $F$man erhält $S=F+P\cdot Q$und der letzte Satz von Gleichungen wurde $\partial_qS=p$, $\partial_PS=Q$und $\partial_tS=K-H$. Die letzte Gleichung ist die sogenannte Hamilton-Jacobi-Gleichung.