Konnektivität im Phasenraum

Zunächst fixieren wir das allgemeine Setup.

Lassen$M$der Raum der Phasen sein, gehe ich davon aus, dass alle Strukturen, die ich im Folgenden beschreibe, dies sind$C^\infty$(A$C^2$Hamiltonian wäre eigentlich für viele Probleme ziemlich ausreichend,$C^3$für die Gültigkeit des Satzes von Liouville).

Der Hamiltonsche Fluss $\Phi$ist wie folgt definiert.

$$I_a \ni t \mapsto \Phi_t(a) \in M$$ ist die maximale Lösung der Hamilton-Gleichungen mit Anfangsbedingung$\Phi_0(a) = a \in M$und das offene Intervall$I_a\subseteq \mathbb{R}$ist der (maximale) zeitliche Bereich dieser Lösung. Daher ist die Domäne von$(t,a) \mapsto \Phi_t(a)$Ist $$\Gamma := \bigcup_{a\in M} I_a \times \{a\} \subseteq \mathbb{R} \times M\:.$$ Es ist möglich, das zu beweisen$\Gamma$ist offen. Schließlich gelten aus dem Eindeutigkeitssatz zur Lösung von Evolutionsgleichungen die einparametrigen Gruppen lokaler Diffeomorphismenbeziehungen , $$\Phi_0(a) = a\:, \quad \Phi_t(\Phi_u(a)) = \Phi_{t+u}(a)\tag{1}$$ Letzteres gilt für$t,u\in \mathbb{R}$Und$a\in M$so dass die linke Seite definiert ist.

Betrachten Sie nun ein „Volume“$V\subset M$, dh eine offene verbundene Teilmenge. Im Allgemeinen gibt es keine Garantie, dass seine Entwicklung$V_t:= \Phi_t(V)$ist für alle definiert$t\in \mathbb R$. Allerdings mit der Tatsache, dass$\Gamma$offen ist, das beweist man leicht, wenn$V$ist eine ausreichend kleine (offen verbundene) Nachbarschaft eines Staates$a$Und$|t| <T$, für eine hinreichend kleine Konstante$T>0$, Dann$\Phi_t(V)$ist gut definiert und offen.

Die Karte$\Phi_t : V \to \Phi_t(V)=:V_t$ist differenzierbare Anzeige bekannt$\Phi_{-t}: V_t \to V$als umgekehrt. Da beide Abbildungen differenzierbar sind, sind sie erst recht stetig. Daher sind sie Homöomorphismen zwischen$V$Zu$V_t$und somit bewahren sie alle topologischen Eigenschaften.

Insbesondere,$V_t$verbunden ist , wenn$V$zusammenhängt (zum Beweis reicht es eigentlich aus, dass$\Phi_t$ist stetig, aber auch hier bleiben alle topologischen Eigenschaften erhalten).

Schlussbemerkungen.

1. In einigen physikalisch relevanten Fällen$\Gamma = \mathbb{R} \times M$so dass letzteres in (1) für alle gilt$a\in M$und alles$t,u\in \mathbb{R}$Und$\Phi_t:M \to M$ist ein globaler Diffeomorphismus. Hinreichende Bedingungen dafür sind, dass jede maximale Lösung der Hamilton-Gleichungen$\gamma : I_a \to M$ist in einem kompakten Set enthalten (das von der Lösung abhängen kann)$K_\gamma \subseteq M$. Das ist beispielsweise der Fall, wenn der Hamiltonoperator nicht exizient von der Zeit abhängt und seine Niveaumengen kompakt sind. In diesen Fällen bestehen keine Einschränkungen$V$Und$t$definieren$V_t$.

2. Das Liouville-Theorem hat nichts mit der Bewahrung des Zusammenhangs zu tun, da das, was ich oben gesagt habe, für jedes dynamische System gilt, sogar für eine Mannigfaltigkeit$M$mit ungerader Dimension , wobei keine Hamilton-Formulierung möglich ist (im Sinne einer symplektischen Formulierung).