Welche Bedeutung hat der Satz von Liouville für die statistische Mechanik?

Weil Sie statistische Gleichgewichtsmechanik betreiben . In der üblichen Ensemble-Theorie ordnen wir einem System (einem Makrozustand) eine große Anzahl von entsprechenden Mikrozuständen zu, jeder Mikrozustand ist ein Punkt im Phasenraum, dieser Punkt wird repräsentativer Punkt genannt. Jetzt wollen Sie untersuchen, wie sich diese Punkte im Phasenraum bewegen.

Zunächst einmal ist die Gleichgewichtssituation für das System die Situation, in der das System durch eine stationäre Gesamtheit repräsentiert wird. Stationär bedeutet, dass die Dichtefunktion$\rho(q,p;t)$der repräsentativen Punkte nicht explizit zeitabhängig:

$$\frac{\partial{\rho}}{\partial t}=0 \tag{1}$$

Nun sagt Ihnen der Satz von Liouville, dass die lokale Dichte der repräsentativen Punkte, wie sie von einem Beobachter gesehen wird, der sich mit einem repräsentativen Punkt bewegt, zeitlich konstant bleibt:

$$\frac{d \rho}{d t} = \frac{\partial{\rho}}{\partial t} + [\rho,H] =0 \tag{2}$$

Wobei der letzte Term die Poisson-Klammer zwischen der Dichtefunktion und der Hamilton-Funktion ist.

Beiden gerecht zu werden$(1)$Und$(2)$du brauchst

$$[\rho,H] =0$$

Der Satz von Lioville sagt Ihnen also irgendwie, dass die Poisson-Klammer zwischen der Dichtefunktion und dem Hamilton-Operator null sein muss, wenn Sie statistische Gleichgewichtsmechanik durchführen wollen. Es ist eine Anforderung, die erfüllt werden muss, wenn dies nicht der Fall ist, machen Sie keine statistische Gleichgewichtsmechanik, sondern etwas anderes.

Es ist äußerst wichtig, wenn Sie den Grund hinter dem Irreversibilitätsparadoxon verstehen wollen . Grundsätzlich ist die klassische Mechanik mikroskopisch reversibel. Warum sehen wir dann bei bestimmten Experimenten nie eine makroskopische Reversibilität? Warum können wir sehen, wie ein Glas zerbricht, aber Teile sich nie wieder mit dem ursprünglichen Glas verbinden? Der Satz von Liouville erklärt es.

Sie besagt, dass das (Hyper-)Volumen im Phasenraum erhalten bleibt.

Lassen$|\Gamma|$die Größe des Satzes sein, nämlich$\iiiint_V \prod_{i=1}^{N} dq_i dp_i$Wo$q_i$sind die verallgemeinerten Koordinaten und$p_i$ihre Impulse.

Denken Sie zum Beispiel an ein Gefäß mit einer Wand in der Mitte. Eine Seite ist mit Gas gefüllt, während die andere Hälfte leer ist (Situation 1). Nehmen wir nun die Wand weg, damit sich das Gas auf die andere Seite ausdehnen kann (Situation 2).

Jetzt steht doppelt so viel Platz zur Verfügung, also kann die entsprechende Koordinate doppelte Werte annehmen. Die anderen Koordinaten bleiben gleich und Impulse sind wieder uneingeschränkt.

Das ist für ein Teilchen in Ordnung. Nun, für die undenkbare Anzahl von Teilchen in 1 Mol Gas ($\sim 6\cdot 10^{23}$Partikel), doppelt so viele sind einfach riesig.

Die "Größe" von Situation 1 ist also so klein gegenüber Situation 2, dass sie völlig vernachlässigbar ist.

Schlussfolgerung: Makroskopische Reversibilität IST in diesen Fällen möglich, aber überhaupt nicht wahrscheinlich, da$\Gamma_1|/|\Gamma_2|\ll$.