Satz von Liouville für die Untermannigfaltigkeit gegebener Erhaltungsgrößen?

Das Theorem von Liouville besagt, dass das Phasenraumvolumen im Laufe der Zeit in Bezug auf das dynamische System erhalten bleibt, das durch die Hamilton- und Hamilton-Gleichungen erzeugt wird.

Jeder gegebene Punkt im Phasenraum entwickelt sich jedoch innerhalb einer Untermannigfaltigkeit, die durch bestimmte Werte der Erhaltungsgrößen (Energie, Impuls, ...) gekennzeichnet ist.

Dass das „Phasenvolumen“ innerhalb dieser Untermannigfaltigkeit auch über die Zeit erhalten bleibt, ist für mich nicht ersichtlich, da es sich um ein Volumen geringerer Dimension als das des Phasenraums handelt.

Gibt es hier ein Ergebnis, auf das Sie mich hinweisen könnten?

en.wikipedia.org/wiki/Non-squeezing_theorem ist vielleicht etwas übertrieben. Aber der Punkt ist, dass dieses Ergebnis aus der symplektischen Geometrie stammt.
@guillaumeTrojani, ich habe versucht, über symplektische Geometrie zu lesen, aber ich verstehe noch nicht, wie sie sich auf die hamiltonsche Mechanik bezieht. Was ist hier die symplektische Form?
Im einfachsten Fall (oder lokal, wenn Sie es vorziehen) ist die symplektische Form also kanonisch, dh: ω = D P ich ∧ D Q ich . Aber wenn Sie es vorziehen, ist es diese Form, die die Poisson-Struktur "erzeugt". Ich kann versuchen, Ihnen eine vollständige Antwort zu geben, aber ich vermute, dass jemand vorher vorbeikommen wird (und wahrscheinlich einen besseren Job machen wird)
(Um das klarzustellen, ich bin mir nicht sicher, was D P ∧ D Q bedeutet, und ich habe die Frage hier gestellt: physical.stackexchange.com/q/564834 ). Unterscheidet es sich vom Doppelintegral? ∫ F D P D Q ?
Keine Sorge, es ist mit Sicherheit ein fortgeschrittenes Thema. Ich denke, Sie haben tatsächlich sehr gute Antworten auf den anderen Beitrag erhalten. Aber es ist ein schwieriges Thema für die erste Begegnung. Und zum Non-Squeezing-Theorem verstehe ich es selbst nicht (den Beweis dafür), weil es meines Wissens eine Technik aus der algebraischen Geometrie namens Witten-Gromov-Invariante verwendet, also wie ich sagte, massiver Overkill zu Ihrer Frage. Hätte ich eine bessere Antwort gehabt, hätte ich einen Beitrag geschrieben. Verzeihung!
Oh, und nur um Ihre Frage zu beantworten, die symplektische 2-Form und dieses Doppelintegral sind in diesem Fall zufällig gleich, weil Sie über eine 2-Fläche integrieren, also ist es dasselbe. Der beste Weg, das Konzept der Volumenformen einzuführen, besteht darin, darüber nachzudenken, wie sie sich mit der Jacobiam-Matrix transformieren.

Antworten (1)

Um zu fragen, ob das Phasenvolumen auf der Untermannigfaltigkeit erhalten bleibt, müssen wir zuerst das Phasenvolumen auf der Untermannigfaltigkeit definieren. Es ist nicht offensichtlich, wie das geht – die symplektische Form könnte auf der Untermannigfaltigkeit verschwinden, oder die Untermannigfaltigkeit könnte sogar ungeraddimensional sein, daher ist es nicht garantiert, dass wir aus der symplektischen Form ein natürliches Volumenmaß erhalten. Eine bessere Frage ist: "Können wir das Phasenvolumen auf einer Untermannigfaltigkeit so definieren, dass der Satz von Liouville gilt?

Das Definieren eines Volumenmaßes über einer Untermannigfaltigkeit entspricht dem Definieren einer Integration über dieser Untermannigfaltigkeit. Bei Riemannschen Mannigfaltigkeiten tun wir dies normalerweise durch Integration über an ϵ -Verdickung der Untermannigfaltigkeit, dann unter der Grenze als ϵ → 0 + . Für eine sympletische Mannigfaltigkeit ist an ϵ -Verdickung macht keinen Sinn, da es keinen Abstand gibt. Wir können jedoch manchmal etwas Ähnliches mit Umlaufbahnen tun. Glücklicherweise kümmern wir uns nicht darum, das Volumen auf einer beliebigen Untermannigfaltigkeit zu definieren. Wir kümmern uns um die Definition des Volumens auf der Umlaufbahn eines Anfangspunktes unter der Hamilton-Strömung.

Lassen P der Ausgangspunkt sein, um den wir uns kümmern, und lassen M der ursprüngliche Krümmer sein. Lassen U ⊂ M eine Nachbarschaft sein von P . schwach ⁡ U = schwach ⁡ M , also wissen wir, wie man über integriert U . Wir wissen auch, wie man über die Umlaufbahn von integriert U . Über die Umlaufbahn von zu integrieren P , können wir über die Umlaufbahn von integrieren U , dann teile durch ∫ 1 und nehmen Sie die Grenze als U schrumpft zu P . Diese Integration ergibt ein wohldefiniertes Volumenmaß auf der Umlaufbahn von P . Bezüglich dieses Volumenmaßes ist der Satz von Liouville erfüllt.

Übungen für den Leser:

  • Zeigen Sie, dass das Volumenmaß wirklich wohldefiniert ist (d. h. der Grenzwert existiert)
  • Zeigen Sie, dass es den Satz von Liouville erfüllt
  • Bei weiterem Nachdenken ist es für mich nicht wirklich offensichtlich, dass die Umlaufbahn von U hat immer eine wohldefinierte Dimension. Gibt es Hamiltonsche Systeme mit fraktalen Bahnen?
  • Wenn wir zwei verschiedene Hamiltonianer haben M Werden bei gleichen Umlaufbahnen die zugehörigen Volumenmaße gleich sein? Auch hier weiß ich keine Antwort.
Satz von Liouville für die Untermannigfaltigkeit gegebener Erhaltungsgrößen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v