Nichtintegrierbarkeit des 2D-Doppelpendels

Kontext:

Für ein System mit N Freiheitsgraden (DOF), mit denen man sich auseinandersetzen muss 2 N unabhängige Koordinaten ( 2 N dimensionaler Phasenraum), der Position Q Und Q ˙ in Lagrange-Formulierung oder unabhängige Koordinaten von Q und verallgemeinertes Momentum P in der Hamiltonschen Formulierung .

Wir erinnern den Leser daran, dass wenn ein System mit N DOF Exponate zumindest N global definierte Bewegungsintegrale (erste Integrale), wo alle solche Erhaltungsvariablen in (Poisson-)Involution miteinander stehen, dann ist das System (Liouville) integrierbar .

Weiterhin ein System mit N DOF kann höchstens haben 2 N − 1 global definierte Bewegungsintegrale. Ein System wird im Allgemeinen haben 2 N lokal definierte Bewegungskonstanten . Wir interessieren uns nur für Bewegungsintegrale, die global definiert sind.

Kommen wir nun zum berühmten Fall des 2D- Doppelpendels , bei dem schwerelose starre Drähte die beiden Massen mit den Längen verbinden ℓ 1 Und ℓ 2 , sind die verallgemeinerten Koordinaten hier durch die zwei Winkel gegeben, die jede Masse mit der Vertikalen bildet, die jeweils mit bezeichnet sind θ 1 Und θ 2 .

Es ist ziemlich einfach zu zeigen, dass die Lagrange-Funktion unter konstantem Gravitationsfeld gegeben ist durch:

L   =   T − v   =   1 2 ( M 1 + M 2 ) ℓ 1 2 θ 1 ˙ 2 + 1 2 M 2 ℓ 2 2 θ 2 ˙ 2 + M 2 ℓ 1 ℓ 2 θ 1 ˙ θ 2 ˙ cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) + ( M 1 + M 2 ) G ℓ 1 cos ⁡ θ 1 + M 2 G ℓ 2 cos ⁡ θ 2 .

Aus dieser Berechnung der Euler-Lagrange-Differentialgleichungen erhält man eine gekoppelte gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, die nur numerisch gelöst werden kann θ 1 ( T ) Und θ 2 ( T ) .

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Frage:

Zu wissen, dass ein Bewegungsintegral hier die Gesamtenergie ist E , und diese Drehimpulskomponente orthogonal L z zur Bewegungsebene ist auch ein Bewegungsintegral unabhängig von E . Leider pendeln sie nicht nach Poisson.

  1. Gibt es hier noch andere Bewegungsintegrale?

  2. Wie können wir, wenn wir uns nur die oben angegebene Lagrange-Funktion ansehen, zeigen, dass das System zumindest auf konzeptioneller Ebene nicht integrierbar ist? (Wir wollen nur vorhersagen, indem wir argumentieren, was erhalten bleibt und welche Größen hier keine ersten Integrale sind).

2. Auch hier bin ich mir nicht sicher, aber ich glaube nicht, dass es einfach zu beweisen ist ... Diese Phys.SE-Frage könnte von Interesse sein.
Kommentar zur Frage (v4): Das gesamte externe Drehmoment τ z = D L z D T (erzeugt durch die Schwerkraft) um den Aufhängepunkt, ist selten Null. Somit L z ist kein Integral der Bewegung in Gegenwart der Schwerkraft.
Schauen Sie sich math.stackexchange.com/q/1682368 und das grüne Bild in myphysicslab.com/pendulum/double-pendulum/… und den Kommentar auf der vorherigen Webseite zur KAM-Theorie an. Alles deutet darauf hin, dass es eine weitere Erhaltungsgröße gibt. Ich habe aber keine Ahnung, was es ist. Vielleicht könnte man es herausfinden, wenn man die KAM-Theorie studiert hätte.
Diese scheinen relevant zu sein: 1. V. Salnikov, arxiv.org/abs/1303.4904 Hm. Sehr kurze. 2. T. Stachowiak & W. Szuminski, arxiv.org/abs/1511.01850 Hm, ihre Gl. (2.1) sieht anders aus.

Antworten (2)

Um die Dinge anzufangen, würde ich sagen, dass die Feststellung der L z Dass die Komponente erhalten bleibt, scheint so ziemlich nichts zu bedeuten, da Sie die Bewegung als auf die beschränkt betrachten X Y Ebene. Wenn Sie die Bewegung entlang der angenommen hätten Z Achse möglich wäre, dann würden wir vom kugelförmigen Doppelpendel statt vom ebenen sprechen (was der Fall ist, da der Lagrangian zwei Freiheitsgrade hat).

Die Energie bleibt erhalten, da das System autonom (zeitunabhängig) ist. Beachten Sie auch, dass ein integrierbares autonomes System mit N Freiheiten hat N Erhaltungsgrößen, eine davon ist die Energie. Da unser System also zwei Freiheitsgrade hat, fehlt eine Bewegungskonstante, damit es integrierbar ist. Differenzieren L gegenüber θ ˙ 1 Und θ ˙ 2 gibt uns die kanonischen Impulse des Systems, aber beachten Sie, dass die Ableitungen von L gegenüber θ 1 Und θ 2 sind nicht null. Die kanonischen Impulse sind also keine Erhaltungsgrößen. Außerdem wird die Gesamtenergie des Systems nicht als Summe der einzelnen Energien berücksichtigt, da die Lagrange-Funktion gemischte Terme enthält. Sie können aus dem Lagrange-Operator keine andere Größe extrahieren, die erhalten bleiben sollte, da die Mechanik von der Erhaltung von Impulsen und Energie (und manchmal von deren Projektionen) spricht. Da es weniger Erhaltungsgrößen als Freiheitsgrade gibt, ist das System nicht integrierbar.

PS: In einer Dimension können wir deutlich sehen, dass (unter Verwendung einfacher Beispiele wie dem harmonischen Oszillator oder dem einfachen Pendel) einige Systeme ihren Impuls nicht erhalten. Auch wenn sie autonom sind, dann sind sie integrierbar, weil sie einen Freiheitsgrad und eine Erhaltungsgröße haben: Energie.

EDIT .: Da die Frage direkt darauf ausgerichtet ist, "ist es möglich, aus dem Lagrange eine Antwort auf die Integrierbarkeit zu erhalten?", werde ich (wie in den Kommentaren vorgeschlagen) etwas zum Satz von Noether skizzieren. Der Satz bezieht Lie-Gruppen auf unveränderliche Größen, also ist es nur eine weitere Möglichkeit, Erhaltungsgrößen zu finden. Es besagt im Grunde, dass, wenn Sie eine Transformation finden, die die Lagrange-Invariante verlässt, dieser Transformation eine Erhaltungsgröße zugeordnet ist. Wenn sich beispielsweise die Transformation auf eine Translation reduziert, impliziert die Invarianz des Lagrange-Operators Impulserhaltung; Wenn die Transformation eine Rotation ist, impliziert die Invarianz die Erhaltung des Drehimpulses entlang der Rotationsachse. Dies ist also im Grunde eine Möglichkeit, Symmetrien der Lagrange-Funktion zu verwenden, um Erhaltungssätze zu erhalten (es ist sehr wichtig, den Inhalt des Satzes von Noether gut zu kennen, um viele Konzepte der Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie klar zu verstehen). Ich bin nicht quantitativ, weil es mühsam ist zu beweisen, dass die Lagrange-Funktion des Doppelpendels keine Invariante ist, auch wenn es irgendwie offensichtlich sein sollte, wenn man es nur betrachtet.

@Phonon Danke! Was ich sagen will, ist in der Tat, dass das System gekoppelt ist. Vergleichen Sie mit dem Fall von zwei durch eine Feder geklebten Massen und durch Federn an zwei Wänden geklebten: Die Gesamtenergie kann als Summe von Energien faktorisiert werden (das System ist nicht gekoppelt), sodass die Gesamtenergie allein zwei Erhaltungsgrößen ergibt: die Energien der einzelnen Teilchen. Ich dachte nur, dass "die Energie nicht berücksichtigt werden kann" natürlicher in die Diskussion käme.
Ja, dachte ich :), der Vollständigkeit halber könnten Sie vielleicht ein oder zwei Worte zum Standpunkt unter Verwendung des Noether-Theorems hinzufügen und wie der Mangel an Symmetrie im System bereits auf einen Mangel an Erhaltungsgrößen hinweist. (wenn du willst, nur ein Vorschlag), wäre das Sahnehäubchen :)
@Phonon Ich stimme zu, es wäre schön, qualitativ etwas über Noethers Theorem zu sagen, aber der quantitative Teil zieht mich nicht an. Der Mangel an Symmetrie des Systems würde deutlich werden, wenn bewiesen würde, dass keine Gruppenaktion mit den Momenten verbunden ist, die die Lagrange-Invariante verlassen würden, und ich bräuchte etwas Papier, um Berechnungen eines Ergebnisses durchzuführen, das die Lagrange-Funktion mir bereits sagt, dass dies nicht der Fall sein wird gib mir nichts. Was schlagen Sie vor?
Habe nur einen kleinen Hinweis hinzugefügt.
@QuantumBrick Vielen Dank für diese großartige Antwort, wenn es Ihnen nichts ausmacht, habe ich einige kleine Fragen: 1) Warum können wir sagen, dass das System hier autonom ist oder wie Sie sagen, zeitunabhängig? (aber wir haben Zeitableitungen...) 2) Wenn man anfängt, die Berechnungen analytisch zu machen, an welchem ​​Punkt bleiben wir tatsächlich stecken und sehen uns der Nicht-Integrierbarkeit dieses Systems gegenüber? (Ich denke, was ich frage: "Wie würden Bewegungskonstanten uns helfen, hier zu integrieren ...") 3) warum ∂ L / ∂ θ 1 ≠ 0 bedeutet, dass der Drehimpuls nicht erhalten bleibt? weil es impliziert D P / D T ≠ 0 ? Danke im Voraus, sehr verständliche Antwort.
@ user929304 1) Wir nennen ein System autonom, wenn der Hamiltonian nicht explizit von der Zeit abhängt. Es wird immer implizit davon abhängen, da Mechanik das Studium der Bewegung ist. 2) Wir bleiben stecken, sobald wir bemerken, dass unsere Bewegungsgleichungen nicht integriert werden können, und das liegt an der Nicht-Integrierbarkeit. 3) Durch die Euler-Lagrange-Gleichung, D T ∂ θ 1 ˙ L = ∂ θ 1 L , das heißt, wenn der Lagrange explizit von den verallgemeinerten Koordinaten abhängt, kann der kanonische Impuls nicht erhalten werden. Fühlen Sie sich frei, alle anderen Fragen zu stellen, die Sie haben!
@QuantumBrick: "Beachten Sie auch, dass ein integrierbares autonomes System mit n Freiheiten n Erhaltungsgrößen hat": Können Sie erklären, woher das kommt?
@anderstood Es ist die Definition. Wikipedia zitieren: „Wenn der Phasenraum in endlichen Dimensionen symplektisch ist (dh das Zentrum der Poisson-Algebra besteht nur aus Konstanten), muss er eine gerade Dimension haben 2 N , und die maximale Anzahl unabhängiger Poisson-Vertauschungsinvarianten (einschließlich des Hamilton-Operators selbst) ist N ".
@user929304 Danke Mann =) Ich bin derzeit sehr beschäftigt mit Seminaren, aber ich werde mir deinen Beitrag so schnell wie möglich ansehen. Vielen Dank für das Kopfgeld, aber ich glaube, ich werde selbst eine Antwort auf diesen Beitrag geben. Es ist eine sehr schwierige Frage.
@ user929304 Lineare Systeme können durch Matrixexponentiation gelöst werden. Wenn etwas lösbar ist, dann ist es integrierbar.
@QuantumBrick Lieber QuantumBrick, du scheinst ziemlich versiert darin zu sein, diese Systeme zu verstehen (aus deiner netten Antwort gehe ich auch hervor, dass du schon vorher Chaostheorie studiert hast). Ich hätte eine Frage, bei der Sie mir vielleicht helfen könnten, warum in chaotischen Systemen die Divergenz zweier verschiedener Trajektorien exponentiell sein muss ? (zB warum nicht linear?) Meine Vermutung war, dass es an einer negativen Riemannschen Krümmung in der Mannigfaltigkeit liegen muss, die den Phasenraum nicht integrierbarer chaotischer Systeme bestimmt. Wenn das der Fall ist, wie kann man verstehen, dass die Krümmung negativ ist? Irgendwelche Hinweise oder Intuitionen? Beifall!
@Phonon Hallo! Nun, um ehrlich zu sein, habe ich darüber noch nie nachgedacht. Wie Sie wissen, werden nicht nur Lyapunov-Exponenten, sondern auch die Phasenraumtopologie benötigt, um zu sagen, dass ein System chaotisch ist. Die Topologie muss kompakt sein. Meine Vermutung ist, dass es möglich wäre, zu beweisen, dass das System nicht stark mischt, wenn die Lyapunov-Koeffizienten basierend auf einer linearen Trennung definiert würden. Das heißt, obwohl Trajektorien auseinander gespreizt sind, reicht eine lineare Divergenz nicht aus, um zu garantieren, dass das System jede messbare Teilmenge des Phasenraums abdeckt. Schönes Thema, Kumpel!
@QuantumBrick Hallo, danke, dass du dich bei mir gemeldet hast. Ja, Sie haben Recht in dem Sinne, dass dies der zugrunde liegende Grund sein muss. Zumindest ist es die intuitive Erklärung. Wäre es Ihrer Meinung nach überhaupt sinnvoll, negative Riemannsche Krümmungen mit Phasenraum-Mannigfaltigkeiten chaotischer Systeme zu verknüpfen? Ich meine, ich weiß nicht einmal, was die Metrik in einem solchen Fall wäre, um eine Krümmung zu definieren! (Schauen Sie sich den ersten Anhang von VI Arnold an, wenn Sie mehr daran interessiert sind, Sie werden eine unheimliche Ähnlichkeit im Anhang bemerken λ er leitet ab :) ). In der Tat ein spannendes Thema ;)
@Phonon Nun, ich bin nicht wirklich versiert in diesem Gebiet der Verknüpfung von Krümmungen und Chaos. Für mich muss ein Phasenraum flach sein, dh keine Riemannsche Krümmung haben, da er einfach ein Dual eines Vektorraums ist. Tatsächlich habe ich in meiner Doktorarbeit große Probleme, kompakte Kotangensfasern mit den Spektren diskretisierter Operatoren zu verknüpfen. Ich werde sicherlich so bald wie möglich ein wenig darüber lesen! Danke, dass du mich in das Thema eingeführt hast. =)
@QuantumBrick kein Problem, wusste, dass dich das interessieren würde. Naja, jedenfalls war es eher aus Neugier, meine eigene Studienrichtung hat eigentlich gar nichts damit zu tun (Physik der kondensierten Materie). Ich hoffe, Sie kommen mit Ihrer Abschlussarbeit gut voran. Zögern Sie nicht zu fragen, ob Sie jemals glauben, dass ich in irgendeiner Weise helfen kann. Beifall
@QuantumBrick Hallo nochmal :), lange Zeit. Ich habe vor ein paar Tagen eine andere Frage gestellt, aber die Antworten sind so unterschiedlich, dass ich nicht weiß, welche ich wirklich behalten soll. Welcher würden Sie eher zustimmen? ( hier )

Es ist schwer, die Integrierbarkeit oder Nicht-Integrierbarkeit eines Lagrange- oder Hamilton-Operators zu "sehen". Eine Methode zum Nachweis der Nichtintegrierbarkeit ist die Melnikov-Methode, und für das physikalische Pendel in 2D wurde dies in der Arbeit "Melnikov's method apply to the double pendulum" von Holger Dullin, Zeitschrift für Physik B, 93:521-528, 1994, durchgeführt , https://doi.org/10.1007/BF01314257

Da Sie der Autor des Papiers sind, könnten Sie diese Antwort vielleicht näher konkretisieren - die Antwort soll für sich allein stehen und nicht nur ein Hinweis auf ein Papier sein.
OK Jon, über Melnikovs Methode: Sie erfordert, dass Sie einen integrierbaren Fall haben, der eine Separatrix hat. Um den integrierbaren Fall zu stören, müssen Sie zeigen, dass sich die Separatrix aufspaltet und transversale Schnittpunkte von stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten hat. Dies beweist, dass das System chaotisch ist und kein anderes Integral als die Energie hat. Um dies auf das Doppelpendel anzuwenden, muss man das physikalische Doppelpendel (dh mit ausgedehnten Körpern mit Trägheitsmomenten) betrachten, um einen integrierbaren Grenzfall zu finden, zB wo ein Pendel nur ein Rotor ist.
Nichtintegrierbarkeit des 2D-Doppelpendels
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