Bestimmung, ob Bewegungskonstanten unabhängig sind

Abholung des in JGs Antwort erwähnten Schecks:

1. Für ein$2n$dimensionalen Phasenraum gibt es höchstens$2n$unabhängige Bewegungskonstanten .

2. Ebenso gibt es höchstens$2n-1$unabhängige Bewegungsintegrale , da sie per Definition nicht explizit von der Zeit abhängen dürfen$t$.

3. Allgemeiner gegeben$N$Integrale der Bewegung$I_1, \ldots, I_N$der Phasenraumvariablen$z^1, \ldots, z^{2n}$, die Anzahl der unabhängigen Bewegungsintegrale im Punkt$z$ist durch den Rang der Rechteckmatrix gegeben

   $$\left(\frac{\partial I_k(z)}{\partial z^{\ell}}\right)_{1\leq k\leq N, 1\leq \ell\leq 2n} .$$ Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag. OPs Fall hat$n=2$.

4. Beispiel von OP: Die Winkelvariable$\phi$ist also eine zyklische Variable$p_{\phi}$ist ein Bewegungsintegral. Der Hamiltonian

   $$H~:=~\frac{p_r^2}{2}+\frac{p_{\phi}^2}{2r^2}+\frac{A}{r}~=~\frac{p_r^2}{2}+\frac{W^2}{2}-\frac{A}{2p_{\phi}^2}, \qquad W~:=~\frac{p_{\phi}}{r}+\frac{A}{p_{\phi}},$$ ist ein Bewegungsintegral, das sich von unterscheidet$p_{\phi}$(wegen dem$p_r$&$W$Abhängigkeit). Man kann überprüfen, ob die 1-Parameter-Familie $$B(\alpha)~:=~p_r \sin(\phi+\alpha) + W \cos(\phi+\alpha)$$ ist ein Bewegungsintegral, das sich von unterscheidet$p_{\phi}$Und$H$(wegen dem$\phi$Abhängigkeit). Allerdings irgendwelche$B(\alpha)$kann in Bezug auf gerecht geschrieben werden$B(0)$Und$B(\pi/2)$über die Additionsformeln für Sinus & Cosinus. Und$B(\pi/2)$ist nicht unabhängig, da $$B(0)^2+B(\pi/2)^2~=~2H+\frac{A}{p_{\phi}^2} .$$ Also die 1-Parameter-Familie$B(\alpha)$enthält nur ein neues Bewegungsintegral. Insgesamt ist das System maximal superintegrierbar mit 3 unabhängigen Bewegungsintegralen. Das Bewegungsintegral von OP ist$C:=p_{\phi}B(0)$.

Die Standardtechnik besteht darin, die Symmetrien zu zählen und, wenn wir zu viele Erhaltungsladungen gefunden zu haben scheinen, auf lineare Abhängigkeit (oder in einigen Fällen auf andere Beziehungen) zwischen ihnen zu prüfen. Siehe Anhang D meiner Diplomarbeit für ein Beispiel. Und manchmal ergeben zwei konservierte Ströme die gleiche Ladung, weil sich ihre Differenz zu Null integriert; siehe Anhang E derselben für ein Beispiel.