Poisson-Klammern des Kepler-Problems

Für den Hamiltonian eines Teilchens mit Einheitsmasse in einem Kepler-Potential:

H = 1 2 P ⋅ P − μ R

Der Drehimpulsvektor ist gegeben durch: L = R × P

Ich kenne und kann zeigen, dass die Poisson-Klammern von R ⋅ R , R ⋅ P Und P ⋅ P mit irgendeiner Komponente des Drehimpulsvektors algebraisch verschwinden, aber was ist die geometrische Überlegung dahinter? Ich versuche, eine bessere Intuition darüber zu entwickeln. Könnte jemand erklären? Danke!

Ähnlich wie die Kommutatoren in der Quantenmechanik sagt Ihnen die Poisson-Klammer des Drehimpulses [oder seiner z-Komponente] mit etwas, XY, was XY allmählich unter Drehungen umwandelt [unter der z-Achse oder einer anderen Achse, je nach Komponente]. Die Dinge, die Sie aufgeschrieben haben, sind Skalare, sie transformieren sich also nicht unter Drehungen, weshalb die Poisson-Klammer Null ist.

Antworten (2)

Die klassische Poisson-Klammer mit dem Generator einer beliebigen Symmetrie gibt die infinitesimale Entwicklung in Bezug auf diese Symmetrie an. Die bekannteste Aussage dazu ist, dass die Zeitentwicklung aller Observablen F auf dem Phasenraum ist gegeben durch

∂ T F = { H , F }

Ebenso für eine Drehung um die ich -te Achse mit Winkelparameter ϕ , wird das Verhalten bei dieser Rotation bestimmt durch

∂ ϕ F = { L ich , F }

Wenn also die Poisson-Klammer { L ich , F } verschwindet für alle ich , F ist rotationsinvariant, also ein Skalar.

Anmerkung: Dies ist im Wesentlichen der Kommentar von Lubos Motl von oben, aber diese Frage sollte nicht unbeantwortet bleiben.

Lassen Sie mich einen weiteren Kommentar abgeben (nicht gerade eine Antwort)

Die Quantität R ⋅ R stellt die Größe des Radius dar, da er sich unter Drehung nicht ändert (Poisson-Kommutator mit Winkelmoment). L )

Die Quantität P ⋅ P stellt die Größe des (linearen) Impulses dar, ändert sich also auch nicht unter Rotation

Die Quantität R ⋅ P stellt die Größe der Wirkung dar, als solche ändert sie sich auch nicht unter Rotation

Poisson-Klammern des Kepler-Problems
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