Identifizieren Sie ein Hamiltonsches System konsistent oder nicht?

Es tut mir leid, wenn meine Frage zu klassisch und einfach ist. Als Dirac-Bergmann-Algorithmus für den Hamilton-Formalismus finde ich heraus, dass ein Hamilton-System inkonsistent ist, wenn die Poisson-Klammer der primären Nebenbedingungen und der Hamilton-Operator sind

{ F ich , H } = 1 ≈ 0
Wenn die Poisson-Klammern gleich sind 0 oder neue Nebenbedingungen erzeugen, ist das Hamiltonsche System konsistent. Habe ich recht mit ihnen? Arbeiten an einem trivialen Beispiel, wie zum Beispiel:
H = 1 2 ( P 2 + X 2 ) F = P 2 + X 2 + X 4
Ich nehme die Poisson-Klammer dazwischen und erhalte 4 X 3 P . Das ist also konsequent? Weil es kein offensichtliches Ergebnis gibt, da 1 erscheinen.

Antworten (1)

I) Im letzten Beispiel von OP erhält man formal eine sekundäre Einschränkung X 3 P ≈ 0 .

Allerdings davon ausgegangen X Und P sind reelle Variablen im Phasenraum M := R 2 , dann die primäre Einschränkung

(A) F ( X , P )   :=   P 2 + X 2 + X 4   ≈   0
an sich impliziert, dass die Einschränkung die Untermannigfaltigkeit beschränkt C ⊂ M ist nur der Ursprung:
(B) C   :=   F − 1 ( { 0 } )   =   { ( 0 , 0 ) } ,

dh X ≈ 0 ≈ P . Alle Dynamiken werden also beendet/eingefroren, und die sekundäre Einschränkung wird automatisch erfüllt. Zusammenfassend ist das letzte Beispiel von OP eine konsistente, aber leere / triviale Theorie ohne DOF.

II) Abgesehen davon, lassen Sie uns schnell hinzufügen, dass die Beschränkung (A) eine Standardregelmäßigkeitsbedingung nicht erfüllt, nämlich die des Gradienten ∇ → F sollte auf der eingeschränkten Untermannigfaltigkeit nicht verschwinden C , vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier . Tatsächlich verschwindet der Gradient (A) weiter C .

Im Allgemeinen ist es viel anspruchsvoller, die Dirac-Bergmann-Analyse für nicht reguläre Nebenbedingungen durchzuführen, da viele Standardergebnisse aus der Differentialgeometrie nicht gelten.

Ist die Frage „Das ist also konsistent“ falsch? Ich frage falsch, weil ich den Zusammenhang nicht richtig verstanden habe, oder? Wir können nicht feststellen, ob das System konsistent ist oder nicht, weil F ist nicht die primäre Einschränkung, oder?
Ich verstehe nicht, was Sie meinen mit "Im Allgemeinen ist es viel anspruchsvoller, die Dirac-Bergmann-Analyse für nicht reguläre Einschränkungen durchzuführen." Meinen Sie, wir müssen andere Algorithmen oder etwas anderes ausführen, um ein solches System zu untersuchen?
Ich habe die Antwort aktualisiert.
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