Dirac-Klammer für die Madelung-Form (Polarform) des Schrödinger-Felds

Ich habe ein Problem damit, die Dirac-Klammer in der Madelung-Darstellung (Polar) des Schrödinger-Felds zu erhalten:

$$\begin{equation} \Psi=\sqrt{\rho}e^{i\theta/\hbar}. \label{eq:WavefunctionPolarForm} \end{equation}$$

Hintergrund:

Es wurde gezeigt (beispielsweise von Nonnenmacher https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02817982 und Guerra https://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.28.1916 ), dass in dieser Darstellung ,$\theta$Und$\rho$spielen die Rolle konjugierter Variablen im Phasenraum$\Gamma=\left( \rho,\theta \right)$mit einer Poisson-Klammer gegeben durch

$$\begin{equation} \left\{ f,g \right\}=\int d\vec{r}\left(\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta}-\frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}\right)=\left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta}. \label{} \end{equation}$$ Grundsätzlich möchte ich dieses Ergebnis ableiten, indem ich den Dirac-Bergmann-Algorithmus für beschränkte Hamilton-Systeme anwende. Es gibt jedoch einen zusätzlichen Faktor von $2$was in der resultierenden Dirac-Klammer auftaucht, so dass $$\begin{equation} \left\{ f,g \right\}_D=2\left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta} \label{} \end{equation}$$ Wie nachfolgend dargestellt. Beachten Sie zunächst, dass eine hermitische Lagrange-Dichte für das freie Schrödinger-Feld geschrieben werden kann als (siehe zum Beispiel Henley & Thirrings 'Elementary QFT' oder Peter Hollands 'The Quantum Theory of Motion') $$\begin{equation} \mathcal{L}=\frac{i\hbar}{2}\left( \Psi^*\dot{\Psi}-\dot{\Psi}^*\Psi\right)-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\Psi\nabla\Psi^*. \label{} \end{equation}$$ Variation der Aktion $I=\int dt d^3x\mathcal{L}$gegenüber $\Psi^*$ergibt die Schrödinger-Gleichung und Variation bzgl $\Psi$ergibt sein komplexes Konjugat. Ersetzen der polaren Form für $\Psi$in diesen Ausdruck für $\mathcal{L}$, erhalten wir die folgende Form für $\mathcal{L}$: $$\begin{equation} \mathcal{L}=-\rho\left(\dot{\theta}+\frac{(\nabla\theta)^2}{2m}\right)-\frac{\hbar^2}{8m\rho}\left( \nabla\rho \right)^2. \label{eq:LagrangianPolarForm} \end{equation}$$ Variation in Bezug auf das Feld $\theta$ergibt eine Kontinuitätsgleichung: $$\begin{equation} \dot{\rho}+\vec{\nabla}\cdot\vec{J}=0 \label{} \end{equation}$$ Wo $\vec{J}=\rho\vec{\nabla}\theta/m$, während Variation in Bezug auf $\rho$ergibt die Quanten-Hamilton-Jacobi-Gleichung: $$\begin{equation} \dot{\theta}+\frac{(\nabla\theta)^2}{2m}-\frac{\hbar^2}{2m\sqrt{\rho}}\nabla^2\sqrt{\rho}=0. \label{} \end{equation}$$ Diese sind bekanntlich $2$Wellengleichungen werden auf die Schrödinger-Gleichung abgebildet. Nun, die kanonischen Impulse sind dann $\pi_{\rho}=0$Und $\pi_{\theta}=-\rho$, was zu den Nebenbedingungsgleichungen führt $C_1=\pi_{\rho}\approx 0$Und $C_2=\pi_{\theta}+\rho\approx 0$im vollen Phasenraum $(\rho,\theta,\pi_{\rho},\pi_{\theta})$, wobei nach Dirac das Symbol ' $\approx$' bezeichnet eine schwache Gleichheit auf einer Hyperfläche, die durch die Beschränkungen definiert ist. Die kanonische Hamiltonsche Dichte ist gegeben durch $$\begin{equation} \mathcal{H}_c=\pi_{\theta}\dot{\theta}+\pi_{\rho}\dot{\rho}-\mathcal{L}\approx \rho\left( \frac{(\nabla\theta)^2}{2m}\right)+\frac{\hbar^2}{8m\rho}\left( \nabla\rho \right)^2. \label{eq:canonicalHamiltonianDensity} \end{equation}$$ Die Poisson-Klammer der Nebenbedingungen zeigt, dass sie zweitklassig sind: $\left\{ C_1\left( \vec{r} \right), C_2 \left( \vec{r}' \right) \right\}=-\delta \left( \vec{r}-\vec{r}' \right)$.

Die Matrix der Einschränkung Poisson-Klammern mit Elementen$Q_{ij}\left( \vec{r},\vec{r}' \right)=\left\{ C_i\left( \vec{r} \right),C_j\left( \vec{r}' \right) \right\}$, ist dann

$$\begin{equation} Q\left( \vec{r},\vec{r}' \right)= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \delta \left( \vec{r}-\vec{r}' \right), \label{eq:ConstraintPoissonMatrix} \end{equation}$$ dessen Umkehrung ist $$\begin{equation} Q^{-1}\left( \vec{r},\vec{r}' \right)= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \delta \left( \vec{r}-\vec{r}' \right). \label{eq:ConstraintPoissonMatrixInverse} \end{equation}$$

Die Dirac-Klammer kann aufgebaut sein, wie z

$$\begin{equation} \left\{ f\left(\vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}_D=\left\{ f\left( \vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}-\sum_{i,j=1,2}\iint d\vec{r}d\vec{r}'\left\{ f\left( \vec{x} \right),C_i\left( \vec{r} \right) \right\}Q^{-1}_{ij}\left( \vec{r},\vec{r}' \right)\left\{ C_j\left( \vec{r}' \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}=\left\{ f\left( \vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}-R_{12}-R_{21}. \label{} \end{equation}$$ Jetzt für $R_{12}$findet man $$\begin{equation} R_{12}=\int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\rho}}-\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta} \right), \label{} \end{equation}$$ und für $R_{21}$: $$\begin{equation} R_{21}=\int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}-\frac{\delta f}{\delta\pi_{\rho}}\frac{\delta g}{\delta\rho} \right). \label{} \end{equation}$$ Daher haben wir $$\begin{equation} \left\{ f\left( \vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}_D=\int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\rho}}- \frac{\delta f}{\delta\pi_{\rho}}\frac{\delta g}{\delta\rho} + \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\theta}}- \frac{\delta f}{\delta\pi_{\theta}}\frac{\delta g}{\delta\theta} - \frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\rho}}+\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta} - \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}+\frac{\delta f}{\delta\pi_{\rho}}\frac{\delta g}{\delta\rho}\right)= \int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\theta}}- \frac{\delta f}{\delta\pi_{\theta}}\frac{\delta g}{\delta\theta} +\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta} - \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}\right). \label{} \end{equation}$$ Nun, wenn wir die Beschränkungsgleichung verwenden $\pi_{\theta}=-\rho$, erhalten wir, dass sich die Dirac-Klammer auf reduziert $$\begin{equation} \left\{ f,g \right\}_D=2 \left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta}. \label{} \end{equation}$$ Der Phasenraum wird also auf die Variablen reduziert $\rho$Und $\theta$aber der Faktor $2$sollte wirklich nicht da sein, da dies zu inkonsistenten Wellengleichungen für die führt $\rho$Und $\theta$Variablen unter zB $\dot{\theta}=\left\{ \rho,H_c \right\}_D$. Ich habe versucht, der Lagrange-Dichte zunächst eine Gesamtzeitableitung hinzuzufügen. Zum Beispiel $$\begin{equation} \mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}'=\mathcal{L}+\frac{d}{dt}\left( \rho\theta/2 \right). \label{} \end{equation}$$ Aber das gibt am Ende einen Faktor von $4$anstatt $2$.. Ich habe festgestellt, dass wenn die kanonischen Impulse zu den Einschränkungen führen $C_1=\pi_{\rho}-2\theta\approx 0$Und $C_2=\pi_{\theta}+2\rho\approx 0$, dann reduziert sich die Dirac-Klammer auf die Poisson-Klammer $\left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta}$ohne Vorfaktor .. Aber es scheint nicht möglich zu sein, eine Gesamtzeitableitung hinzuzufügen $\mathcal{L}$der dies erreicht. Irgendwelche Gedanken überhaupt?

Danke!