Dirac-Klammer für ein eingeschränktes Teilchen

Question

Dirac-Klammer für ein eingeschränktes Teilchen

Physik
Phasenraum
Poisson-Klammern
klassische Mechanik
eingeschränkte Dynamik
Hamiltonscher Formalismus

AngusTheMan

Ich versuche, ein einfaches Beispiel für die Verwendung der Dirac-Klammer aus dem folgenden Dokument durchzuarbeiten . Insbesondere Abschnitt 4, wo die Autoren ein eingeschränktes Teilchen mit dem folgenden Hamilton-Operator betrachten,

\begin{matrix} (4.4) & H = \frac{P^{2}}{2 M} + v (X) . \end{matrix}

$\begin{equation} H=\frac{\boldsymbol p^2}{2m}+V(\boldsymbol x).\tag{4.4} \end{equation}$ Sie geben an, dass die Dirac-Klammern für die Zeitentwicklung der kanonischen Koordinaten gegeben sind durch:

\dot{X} = \frac{1}{M} [P - (P \cdot N) \cdot N] = \frac{P}{M}

$\begin{equation} \boldsymbol{\dot x}=\frac{1}{m}[\boldsymbol p-(\boldsymbol p\cdot\boldsymbol n)\cdot \boldsymbol n]=\frac{\boldsymbol p}{m} \end{equation}$

\begin{matrix} (4.5) & \dot{P} = F - [F \cdot N + \frac{1}{M} P \cdot [(P \cdot \frac{\partial}{\partial X}) N]] N . \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\dot{p}}=\boldsymbol F-[\boldsymbol F\cdot \boldsymbol n+\frac{1}{m}\boldsymbol p\cdot [(\boldsymbol p\cdot \frac{\partial }{\partial \boldsymbol x})\boldsymbol n]]\boldsymbol n. \tag{4.5} \end{equation}$ Es gibt nur wenige Informationen zu diesem speziellen Problem, aber direkt über den zitierten Gleichungen beschreiben sie zwei Einschränkungen zweiter Klasse

\begin{matrix} (4.1) & Θ_{1} = F (X) Und Θ_{2} = P \cdot \frac{\partial F}{\partial X,} \end{matrix}

$\Theta_1=f(\boldsymbol x)\qquad\text{and}\qquad\Theta _2=\boldsymbol p\cdot \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol x,}\tag{4.1}$ Ich verstehe jedoch nicht, wie dies zu den oben zitierten Ausdrücken führt, sollen wir nehmen

f = n

$f=\boldsymbol n$ der Einheitsnormalenvektor?

Legende

$H$ =Hamiltonisch;

$\boldsymbol x$ =Koordinate;

$\boldsymbol p$ = Impuls konjugiert zu $\boldsymbol x$ ;

$\boldsymbol n$ = Einheitsnormalenvektor zur Begrenzungsfläche;

$\Theta_i$ = Nebenbedingungsgleichung;

$\boldsymbol F$ =kraft;

Meine Versuche sind erschreckend schlecht, also sind sie es nicht wirklich wert, gezeigt zu werden. Ich suche nach allgemeinen Hinweisen oder Tipps, wie ich dieses Problem angehen kann.

Antworten (1)

Dirac-Klammer für ein eingeschränktes Teilchen

QMechaniker · Answer 1

I) Es scheint, dass die Hauptfrage von OP durch einen Tippfehler unter Gl. (4.2) in Lit. 1 in der Formel für den Einheitsnormalenvektor

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} N (X) := & \frac{N (X)}{| | N (X) | |}, \\ N (X) := & \frac{\partial F (X)}{\partial X}, \\ | | N (X) | | := & \sqrt{N (X) \cdot N (X)}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\bf n}({\bf x})~:=~& \frac{{\bf N}({\bf x})}{|| {\bf N}({\bf x})||}, \cr {\bf N}({\bf x})~:=~&\frac{\partial f({\bf x})}{\partial {\bf x}},\cr || {\bf N}({\bf x})||~:=~&\sqrt{{\bf N}({\bf x})\cdot {\bf N}({\bf x})},\end{align}\tag{1}$

zur eingeschränkten Fläche $\{{\bf x}\in \mathbb{R}^n | f({\bf x})=0 \}$ im Positionsraum $\mathbb{R}^n$ .

II) Es ist interessant, die Einstellung von Lit. zu verallgemeinern. 1. Betrachten wir an $n$ -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ mit zwei Funktionen ausgestattet $f, V:M\to\mathbb{R}$ , genannt die Beschränkung bzw. das Potential. Der Lagrange ist

\begin{matrix} (2) & L = L_{0} + λ F, L_{0} := \frac{1}{2} {\dot{X}}^{ich} G_{ich J} {\dot{X}}^{J} - v, \end{matrix}

$L~=~L_0 +\lambda f, \qquad L_0~:=~ \frac{1}{2}\dot{x}^i g_{ij}\dot{x}^j-V,\tag{2}$

Wo $\lambda$ ist ein Lagrange-Multiplikator. Der erweiterte Phasenraum ist das Kotangensbündel $T^{\ast}M$ ausgestattet mit der kanonischen Poisson-Klammer. Der bloße Hamiltonian ist

\begin{matrix} (3) & H_{0} = \frac{1}{2} P_{ich} G^{ich J} P_{J} + v . \end{matrix}

$H_0~=~\frac{1}{2}p_i g^{ij}p_j+V. \tag{3}$

Wir haben eine Einschränkung $f \approx 0$ . Wir haben auch eine sekundäre Einschränkung

\begin{matrix} (4) & χ := {F, H_{0}}_{P B} = P_{ich} \nabla^{ich} F . \end{matrix}

$\chi~:=~\{f,H_0\}_{PB}~=~p_i \nabla^i f .\tag{4}$

III) An dieser Stelle gehen wir davon aus $f$ Und $\chi$ sind zweitklassig

\begin{matrix} (5) & 0 \neq {F, χ}_{P B} = (F, F)_{R B} . \end{matrix}

$0~\neq~ \{f,\chi\}_{PB}~=~ (f,f)_{RB}.\tag{5}$

wobei wir eine Riemann-Klammer definiert haben

\begin{matrix} (6) & (F, F)_{R B} := \partial_{ich} F G^{ich J} \partial_{J} F . \end{matrix}

$(f,f)_{RB}~:=~\partial_if~g^{ij}~\partial_jf.\tag{6}$

Wir werden dann einfach postulieren, dass die Zeitentwicklung durch die Dirac-Klammer bestimmt wird

\begin{matrix} (7) & {\dot{X}}^{ich} = {X^{ich}, H_{0}}_{D B}, {\dot{P}}_{J} = {P_{J}, H_{0}}_{D B} . \end{matrix}

$\dot{x}^i ~=~\{x^i, H_0\}_{DB} , \qquad \dot{p}_j ~=~\{p_j, H_0\}_{DB}.\tag{7}$

Beachten Sie, dass die Einschränkungen der zweiten Klasse bei der Zeitentwicklung erhalten bleiben, sodass der Vorschlag (7) wohldefiniert ist und keine tertiären Einschränkungen usw. erforderlich sind. Die Dirac-Klammer lautet

\begin{matrix} (8) & {A, B}_{D B} = {A, B}_{P B} + \frac{{A, F}_{P B} {χ, B}_{P B} - {A, χ}_{P B} {F, B}_{P B}}{(F, F)_{R B}}, \end{matrix}

$\{ a,b\}_{DB}~=~\{ a,b\}_{PB}+\frac{ \{ a,f\}_{PB}~ \{ \chi,b\}_{PB}-\{ a,\chi\}_{PB} ~\{ f,b\}_{PB}}{(f,f)_{RB}} ,\tag{8}$

Wo $a,b: T^{\ast}M\to\mathbb{R}$ sind zwei beliebige Funktionen. Gl. (4.3) und (4.5) in Lit. 1 sind Spezialfälle von Gl. (8) bzw. (7).

Verweise:

S. Nguyen & LA Turski, Beispiele für den Dirac-Ansatz zur Dynamik von Systemen mit Einschränkungen Phys. A290 (2001) 431 ; Sektion 4.

Wieder einmal bin ich sehr beeindruckt von Ihrer Fähigkeit, ein kompliziertes Thema zu vereinfachen. Vielen Dank für Ihre Zeit, Qmechanic. Kann ich ersetzen $(f,f)_{RB}=\{f,\chi\}_{PB}$ Und $\chi=\{f,H_0\}_{PB}$ in die endgültige Formel? (für sekundäre Einschränkungen).

Dirac-Klammer für ein eingeschränktes Teilchen

AngusTheMan

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QMechaniker

AngusTheMan

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