Killing Tensor in der Kerr-Metrik

Der Killing-Tensor ist als symmetrischer Tensor definiert$K_{\alpha \beta}$dessen Gesamtsymmetrisierung des kovarianten Gradienten verschwindet

$$K_{(\alpha \beta;\gamma)} = K_{\alpha \beta;\gamma} + K_{ \beta\gamma;\alpha}+ K_{\gamma \alpha;\beta}= 0$$ Dies kann als Verallgemeinerung höherer Ordnung des Killing-Vektors angesehen werden $\xi_\mu$und die Killing-Gleichung, die besagt, dass die Symmetrisierung ihres kovarianten Gradienten verschwindet $$\xi_{(\mu;\nu)} = \frac{1}{2}(\xi_{\mu;\nu} + \xi_{\nu;\mu})=0$$ In speziellen Koordinaten wo $\xi_\mu$tangiert die Linien einiger Koordinaten $X$können wir zeigen, dass die Killing-Gleichung der Anforderung entspricht, von der die Metrik unabhängig ist $X$.

Die durch einen Killing-Vektor oder einen Killing-Tensor erfüllten Gleichungen sind „nur“ homogene lineare partielle Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten. Dh wir können sie direkt durch Brute Force lösen. Betrachten Sie die Minkowski-Raumzeit in kartesischen Koordinaten. Dort haben wir den kovarianten Gradienten einfach gleich dem Koordinatengradienten und ein triviales Beispiel, das die Killing-Gleichung erfüllt, ist ein konstanter Vektor$\xi_\mu$. In ähnlicher Weise ist ein triviales Beispiel eines Killing-Tensors in Minkowski jeder konstante symmetrische Tensor$K_{\mu \nu}$. Das heißt, wir müssen die Trennbarkeit der Hamilton-Jacobi-Gleichung nicht generell berücksichtigen, um den Killing-Tensor zu erhalten.

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Andererseits ist es im Fall einer allgemein gekrümmten Raumzeit (einschließlich Kerr) praktisch unmöglich, analytische Lösungen für die Killing-Tensor-Gleichung mit roher Gewalt zu finden. Sie müssen spezielle algebraische Techniken wie die von Walker und Penrose 1970 verwendeten Spinor-Techniken verwenden , um den Killing-Tensor ohne Bezugnahme auf die Trennbarkeit von Bewegungsgleichungen abzuleiten (oder zu erraten). Angesichts dieser Verfahren scheint es nicht so weit hergeholt zu sein, die Hamilton-Jacobi-Gleichung zu verwenden, um indirekt nach einem Killing-Tensor zu suchen.

Nichtsdestotrotz ist es kein sicherer Weg, nur die Trennbarkeit der Hamilton-Jacobi-Gleichung einer Geodätischen zu betrachten, um zu sehen, ob die Raumzeit einen Killing-Tensor hat oder nicht. Es wurde gezeigt, dass die Hamilton-Jacobi-Gleichung genau dann trennt, wenn Sie sich in einem speziellen Satz angepasster Koordinaten befinden (Boyer-Lindquist und ähnliche in Kerr, ich mag die Art und Weise, wie dies von Chervonyii und Lunin überprüft wird ). Wenn Sie sich in einem generischen Koordinatensatz befinden, trennt sich Ihre Hamilton-Jacobi-Gleichung nicht, obwohl Sie einen Killing-Tensor haben.

Darüber hinaus kann ein weiteres wichtiges Objekt, das oft als "Quadratwurzel" des Killing-Tensors bezeichnet wird, der Killing - Yano -Tensor, nicht mit der Hamilton-Jacobi-Methode gefunden werden. Der Killing-Yano-Tensor zweiter Stufe ist ein antisymmetrischer Tensor$Y_{\alpha \beta}$dessen kovarianter Gradient ebenfalls antisymmetrisch ist

$$Y_{\alpha (\beta;\gamma)} = 0$$ Das kannst du dann zeigen $K_{\alpha \beta} = Y_{\alpha \gamma} Y^\gamma_{\;\; \beta}$ist ein Killing-Tensor. Die Existenz des Killing-Yano-Tensors impliziert die Trennbarkeit der Dirac-Gleichung auf dem gekrümmten Hintergrund. Das bedeutet, dass Sie im Prinzip die Hamilton-Jacobi-Gleichung umgehen können, indem Sie stattdessen den Killing-Yano-Tensor aus der Trennbarkeit der Dirac-Gleichung suchen und ihn quadrieren, um den Killing-Tensor zu erhalten. Allerdings ist die Konstruktion der Dirac-Gleichung auf gekrümmtem Untergrund nicht trivial.

Daher scheint es mir immer noch, dass die Suche nach der Trennungskonstante der Hamilton-Jacobi-Gleichung für eine Geodäte der einfachste Trick ist, um den Killing-Tensor zu finden.

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Wenn Sie eher nach einer pragmatischen Möglichkeit suchen, den Killing-Tensor einfach aus der Kerr-Metrik und jeder Metrik mit einem Killing-Tensor abzulesen, lautet das Rezept wie folgt.

Sie müssen sich in Koordinaten befinden$\xi, \eta$(plus diejenigen, die Killing-Vektor-Richtungen entsprechen), wo die inversen metrischen Komponenten die Form annehmen

$$g^{\mu \nu} = \frac{1}{f_\xi(\xi) - f_\eta(\eta)} (X^{\mu \nu}(\xi) + Y^{\mu\nu}(\eta))\,,$$ Wo $X^{\eta \nu} = Y^{\xi \nu}=0$. Sie können die Kerr-Metrik in Boyer-Lindquist-Koordinaten sehen $r,\vartheta$hat genau diese Eigenschaft.

Ihr Tötungstensor ist dann

$$K^{\mu\nu} = -\frac{f_\xi Y^{\mu \nu} + f_\eta X^{\mu \nu}}{f_\xi - f_\eta}$$ Dies kann durch Brute-Force-Berechnung überprüft werden.

Allerdings wäre die Ableitung dieser Formel noch einmal am einfachsten, wenn man die Hamilton-Jacobi-Gleichung betrachtet, weil diese$\xi$Und$\eta$sind wieder Koordinaten, in die sich die HJ-Gleichung auflöst.