Beweis der Konstruktion von Aktionswinkelkoordinaten auf dem Hamiltonschen System

Die eigentliche Frage von OP folgt direkt aus Theorem 5.3 in Lit. 2, aber es bleibt die offensichtliche Frage: Wie beweist man Satz 5.3? Es scheint, dass die einzige wirklich zufriedenstellende Antwort darin bestünde, einen vollständigen Beweis des Satzes von Liouville-Arnold zu skizzieren . Dies wollen wir in dieser Antwort tun.

Gegeben sei ein endlichdimensionales autonomes Hamiltonsches System, definiert auf einem Zusammenhang$2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit $({\cal M},\{\cdot ,\cdot \})$.

Definition 1. Das System ist vollständig Liouville integrierbar, falls vorhanden$n$funktional unabhängige, Poisson-kommutierende, global definierte Funktionen$F_1, \ldots, F_n: {\cal M}\to \mathbb{R}$, so dass der Hamiltonoperator$H$ist eine Funktion von$F_1, \ldots, F_n$, nur. Mit anderen Worten, die Funktionen$F_1, \ldots, F_n$sind Bewegungsintegrale . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Definition 2. Das System hat die AA-Eigenschaft , wenn es einen Atlas der Winkelwirkungskoordinaten gibt$(w^1,\ldots, w^n,J_1,\ldots, J_n)$, wo die symplektische$2$-form$\omega=\sum_{k=1}^n\mathrm{d}J_k\wedge \mathrm{d}w^k$ist auf Darboux-Form, wo jedes AA-Koordinatensystem ist$w$-vollständig, und wo der Hamiltonian$H=H(J)$hängt nicht von den Winkeln ab$w^k$. (Wir erlauben nicht-kompakte „Winkel“-Variablen. Die kompakten Winkel-Variablen haben Einheitsperioden$w^k\sim w^k+1$.)

Satz von Liouville-Arnold . Gegeben sei ein vollständig integrierbares Liouville-System, und nehme an$\forall f=(f_1,\ldots, f_n)\in\mathbb{R}^n$dass sich das Niveau einstellt${\cal M}_f:=\bigcap_{k=1}^n F_k^{-1}(\{f_k\})$sind kompakt drin${\cal M}$. Dann werden die jeweils verbundenen Komponenten der Levelsets gesetzt$n$-tori, und das System hat die AA-Eigenschaft.

Skizzierter Beweis:

1. Einerseits aus den pendelnden Hamiltonschen Vektorfeldern$X_k:=-\{F_k, \cdot\}$, erzeugen wir einen abelschen Fluss

   $$\begin{align} g(t)~:=~& \exp(\sum_{k=1}^n t^k X_k), \cr g(t)g(t^{\prime})~=~&g(t+t^{\prime}), \qquad t,t^{\prime}~\in~\mathbb{R}^n .\end{align} \tag{1}$$ Wir konzentrieren uns auf eine verbundene Komponente eines kompakten Level-Sets${\cal M}_f$. Wir schließen aus der Kompaktheitsannahme, dass die$t$-Parameter erzeugen eine periodische Torusaktion$t^k\sim t^k+\Pi^k_{\ell}(F)$(für jede angeschlossene Komponente), wobei$\Pi^k_{\ell}(F)$ist eine Periodenmatrix.

2. Andererseits aus dem Satz von Frobenius für die Involutivverteilung$\Delta:={\rm span}_{\mathbb{R}}(X_1,\ldots,X_n)$, es existiert ein$n$-Folierung . Mit anderen Worten, es existiert ein Atlas lokaler Koordinaten der Form$(\varphi^1, \ldots,\varphi^1, G_1, \ldots, G_n)$, wo zuerst die$\varphi^k$-Koordinaten parametrisieren die Blätter und zweitens die$G_k$-Koordinaten (wie die$F_{\ell}$-Koordinaten) die Blätter beschriften. Daher die$G_k$-Koordinaten müssen Funktionen von sein$F_{\ell}$-Koordinaten. Zwei überlappende lokale Koordinatensysteme (z. B. gestrichene und nicht gestrichene) stehen über in Beziehung

   $$\begin{align} \varphi^{\prime k} ~=~& \varphi^{\prime k}(\varphi,G), \cr G^{\prime}_k ~=~&G^{\prime}_k(G), \cr k~\in~&\{1, \ldots, n\}.\end{align}\tag{2}$$ Wir können wlog davon ausgehen, dass die lokalen$\varphi^k$-Koordinaten schichten immer die Hamiltonschen Vektorfelder $$\frac{\partial}{\partial \varphi^k}~=~X_k, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}.\tag{3}$$ Beachten Sie, dass der abelsche Fluss dann wird $$g(t)~\stackrel{(1)+(3)}{=}~ \exp(\sum_{k=1}^n t^k \frac{\partial}{\partial \varphi^k}) , \qquad t~\in~\mathbb{R}^n .\tag{4}$$ Es wird klar, dass wir dann den Parameter identifizieren sollten$t^k$mit der Koordinate$\varphi^k$. Gl. (2) & (3) enge Koordinatentransformationen bis auf die Form$\varphi^{\prime k} = \varphi^k+ h^k(F)$. Es wird deutlich, dass wir Vereinigungen solcher lokaler Koordinatenpatches nehmen können, um a zu erstellen$\varphi$-vollständiges Koordinatensystem (für jede verbundene Komponente) mit einer Periodizitätsbedingung$\varphi^k\sim \varphi^k+\Pi^k_{\ell}(F)$. Mit anderen Worten, die$\varphi^k$sind nicht normalisierte Winkelvariablen.

3. Gegeben sei eine zusammenhängende Komponente eines kompakten Levelsets, die ein sein muss$n$-Torus$\cong (\mathbb{S}^1)^n$, können wir eine röhrenförmige Nachbarschaft finden${\cal U}\subseteq {\cal M}$mit Koordinaten$(\varphi^1,\ldots,\varphi^n,F_1, \ldots, F_n)$, bei dem die$F$-Koordinaten leben in einem kontrahierbaren Raum, sagen wir, an$n$-Kasten. Wir beschränken die Konstruktion nun auf diese röhrenförmige Nachbarschaft${\cal U}$.

   Die fundamentalen Poisson-Klammern haben nicht unbedingt die Darboux-Form$^1$

   $$\begin{align} \{ \varphi^k, \varphi^{\ell}\} ~=~& \beta^{k\ell}, \cr \{ \varphi^k, F_{\ell}\}~=~& \delta^k_{\ell}, \cr \{ F_k, F_{\ell}\}~=~& 0, \cr k,\ell ~\in~&\{1, \ldots, n\}.\end{align}\tag{5}$$ Die entsprechende symplektische Form ist die inverse Struktur $$\begin{align}\omega~=~&\sum_{k=1}^n\mathrm{d}F_k \wedge \mathrm{d}\varphi^k + \beta, \cr \beta~:=~& \frac{1}{2} \sum_{k,\ell=1}^n \mathrm{d}F_k ~\beta^{k\ell} \wedge \mathrm{d}F_{\ell}.\end{align} \tag{6}$$ Allerdings gibt es eine Bi-Grading von zwei Anti-Pendeln-Differenzen $$\begin{align}\mathrm{d}~=~&\mathrm{d}^{(\varphi)}+ \mathrm{d}^{(F)}, \cr \mathrm{d}^{(\varphi)}~:=~&\sum_{k=1}^n\mathrm{d}\varphi^k \frac{\partial}{\partial \varphi^k},\cr \mathrm{d}^{(F)}~:=~&\sum_{k=1}^n\mathrm{d}F_k \frac{\partial}{\partial F_k} .\end{align} \tag{7}$$ Die Geschlossenheit$\mathrm{d}\beta=0$impliziert erstens$\mathrm{d}^{(\varphi)}\beta=0$(dh$\beta^{k\ell}$kann sich nicht darauf verlassen$\varphi$.), und zweitens$\mathrm{d}^{(F)}\beta=0$. Nach Poincare Lemma existiert a$(0,1)$-form $$\alpha~=~\sum_{k=1}^n\alpha^k(F)~\mathrm{d}F_k\tag{8}$$ An${\cal U}$so dass die Symplektik$(0,2)$-form $$\beta|_{\cal U}~=~\mathrm{d}^{(F)}\alpha~=~\mathrm{d}\alpha.\tag{9}$$

   Definieren Sie neue Koordinaten

   $$\begin{align} q^k~:=~\varphi^k -\alpha^k(F)~\sim~& q^k+\Pi^k_{\ell}(F), \cr k,\ell ~\in~&\{1, \ldots, n\},\end{align}\tag{10}$$
   die periodisch mit gleichen Perioden sind. Das lässt sich leicht überprüfen$(q^1,\ldots,q^n,F_1, \ldots, F_n)$ist ein$q$-Komplette Darboux-Koordinatennachbarschaft${\cal U}$mit symplektischem Potential$(1,0)$-form $$\begin{align}\vartheta~=~&\sum_{k=1}^nF_k ~\mathrm{d}q^k, \cr \mathrm{d}\vartheta~=~&\sum_{k=1}^n\mathrm{d}F_k \wedge \mathrm{d}q^k ~=~\omega|_{\cal U}.\end{align}\tag{11}$$

4. An dieser Stelle machen wir einen Schritt zurück. (Dies ist für den AA-Existenzbeweis nicht erforderlich, aber in der Praxis ist es nützlich, die Konstruktion für allgemeinere Koordinaten zu skizzieren. Siehe auch Bemerkung 7 unten.) Stellen wir uns allgemeiner vor, dass wir eine röhrenförmige Nachbarschaft haben${\cal U}\subseteq {\cal M}$mit etwas$q$-vollständige (nicht unbedingt Darboux) Koordinaten$(q^1,\ldots,q^n,F_1, \ldots, F_n)$mit symplektischem Potential$(1,0)$-form

   $$\vartheta~=~\sum_{k=1}^n p_k(q,F) ~\mathrm{d}q^k,\tag{12}$$ so dass$q^k\sim q^k+\Pi^k_{\ell}(F)$.

   Konsistenz mit der nicht entarteten symplektischen 2-Form

   $$\begin{align}\omega|_{\cal U}~=~& \mathrm{d}\vartheta\cr ~\stackrel{(12)}{=}~& \underbrace{\sum_{k,\ell=1}^n\mathrm{d}q^k ~\frac{\partial p_{\ell}}{\partial q^k} \wedge \mathrm{d}q^{\ell}}_{=0\text{ because }\{ F_k, F_{\ell}\}=0 } +\sum_{k,\ell=1}^n\mathrm{d}F_k ~\frac{\partial p_{\ell}}{\partial F_k} \wedge \mathrm{d}q^{\ell},\end{align}\tag{13}$$ impliziert:

   • Das$\{q^k,q^{\ell}\}=0$.

   • die Maxwell-Beziehungen

     $$\frac{\partial p_{\ell}(q,F)}{\partial q^k} ~=~ (k\leftrightarrow \ell) , \qquad k,\ell~\in~\{1, \ldots, n\}.\tag{14}$$ Gl. (14) ist eine Integrierbarkeitsbedingung für die lokale Existenz der Hamiltonschen charakteristischen Funktion $W(q,F)$, vgl. Abschnitt 6 unten.

   • dass die Matrix$\frac{\partial p_{\ell}}{\partial F_k}$ist invertierbar. Nach evtl. Beschränkung auf eine kleinere röhrenförmige Nachbarschaft${\cal V}\subseteq {\cal U}$, das beweist das$(q^1,\ldots,q^n,p_1, \ldots, p_n)$sind Darboux-Koordinaten auf${\cal V}$. (Hier haben wir den Umkehrfunktionssatz verwendet .)

5. Aktionsvariablen definieren

   $$J_k(q_{\ast},F)~:=~ \oint_{C_k(q_{\ast})}\! \left. \vartheta \right|_{\text{fixed } F}, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}, \tag{15}$$ Wo$C_k(q_{\ast})$Bereich$k$1-Takt der Tori in der$q$-Raum$M$(auch bekannt als Konfigurationsraum ), der am selben Punkt beginnt und endet$q_{\ast}\in M$. Verwenden Sie den Satz von Stokes $$\begin{align} J_k(q^{\prime}_{\ast},F)-J_k(q_{\ast},F)~:=~& \oint_{\partial A}\! \left.\vartheta \right|_{\text{fixed } F}\cr ~=~& \iint_A\! \left. \omega \right|_{\text{fixed } F}~=~0, \cr k~\in~&\{1, \ldots, n\}, \end{align}\tag{16}$$ zu zeigen, dass$J_k(q_{\ast},F)$nicht abhängen$q_{\ast}$.

   An dieser Stelle gehen wir davon aus, dass die Matrix$\frac{\partial J_k}{\partial F_{\ell}}$ist nicht entartet. (Dies ist für den wichtigen Fall erfüllt, wo$p_k(q,F)=F_k$.) Nach evtl. Beschränkung auf eine kleinere röhrenförmige Nachbarschaft${\cal V}\subseteq {\cal U}$, das beweist das$(q^1,\ldots,q^n,J_1, \ldots, J_n)$sind Koordinaten an${\cal V}$. (Hier haben wir den Umkehrfunktionssatz verwendet .)

6. Definieren Sie die Hamiltonsche charakteristische Funktion

   $$W(\gamma,F)~:=~ \int_{\gamma}\!\left. \vartheta \right|_{\text{fixed } F}, \tag{17}$$ Wo$\gamma \subseteq M$ist eine orientierte Kurve in der$q$-Raum$M$von einem Bezugspunkt$q_{\ast}(F)$zu einem Endpunkt, den wir (mit einem leichten Schreibfehler) bezeichnen$q$. Man kann wieder zeigen, dass die Definition (17) nur von der Homotopieklasse (also Windungszahlen ) abhängen$\gamma$. Daher können wir die Definition (17) in einer etwas anderen Schreibweise als umschreiben $$W(q,F)~:=~ \int_{q_{\ast}}^q\!\left. \vartheta \right|_{\text{fixed } F}, \tag{18}$$ wo wir die mehrwertige Natur der verwenden$q$-Koordinatensystem zur Angabe der Windungsnummer. Beachten Sie, dass $$p_k(q,F)~=~\frac{\partial W(q,F)}{\partial q^k}, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}. \tag{19}$$ Definieren$W(q,J)~:=~W(q,F(J))$. Ähnlich, $$p_k(q,J)~=~\frac{\partial W(q,J)}{\partial q^k}, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}. \tag{20}$$ Dann verschieben wir mit einem Punkt $$\begin{align} \Delta_k W ~:=~&W(q+\Pi_k,J)-W(q,J)~=~J_k, \cr k~\in~&\{1, \ldots, n\}.\end{align} \tag{21}$$ Definieren Sie neue Winkelvariablen $$w^k(q,J)~:=~\frac{\partial W(q,J)}{\partial J_k}, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}. \tag{22}$$
   Mit anderen Worten,$W$ist eine Typ-2-Erzeugungsfunktion für die kanonische Transformation$(q,p)\to (w,J)$. Dann haben die Perioden Einheitslänge $$\begin{align} \Delta_{\ell} w^k~:=~& w^k(q+\Pi_{\ell},J)-w^k(q,J)~=~ \delta^k_{\ell}, \cr k,\ell~\in~&\{1, \ldots, n\}. \end{align}\tag{23}$$ $\Box$

7. Anmerkung. Wenn eine röhrenförmige Nachbarschaft${\cal U}\subseteq {\cal M}$eines Level-Set-Torus wird von einem einzigen Darboux-Koordinatendiagramm abgedeckt$(q^1,\ldots,q^n,p_1,\ldots,p_n)$so dass die Projektion einer Ebene auf den Torus eingestellt ist$q$-Raum$M$nur vereinzelte Wendepunkte enthalten, dann ist es dennoch möglich, Aktionsvariablen (15), Hamiltonsche charakteristische Funktion (17) etc. über entsprechende Verallgemeinerungen zu definieren. ZB das Analogon von Gl. (17) ist

   $$W(\gamma,F)~:=~ \int_{\sigma_F\circ \gamma}\!\left. \vartheta \right|_{\text{fixed } F}, \tag{24}$$ Wo$\sigma_F$bezeichnet die$F$-abhängiger Aufzug aus$q$-Raum$M$auf die Ebene gesetzt Torus.

8. Beispiel: Der einfache harmonische Oszillator. Der Hamiltonian

   $$H~=~\frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2}\tag{25}$$ ist ein Bewegungsintegral. Das System ist im 2D-Phasenraum integrierbar (mit Ausnahme des Ursprungs, der eine singuläre Umlaufbahn ist). Wir können eine Winkelvariable definieren $$\begin{align} \varphi~:=~&{\rm atan2}(q,p), \cr p+iq~=~&\sqrt{2H}e^{i\varphi}, \cr q~=~&\sqrt{2H}\sin\varphi, \cr p~=~&\sqrt{2H}\cos\varphi\cr ~=~&\pm \sqrt{2H-q^2}.\end{align}\tag{26}$$ Die Aktionsvariable lautet $$\begin{align} J~\stackrel{(15)}{=}~&\oint \!\left. p ~\mathrm{d}q \right|_{\text{fixed } H}\cr ~=~&2H\int_0^{2\pi}\! \mathrm{d}\varphi~\cos^2\varphi\cr ~=~&2\pi H.\end{align}\tag{27}$$
   Hamiltons charakteristische Funktion lautet $$\begin{align}W(q,H)~\stackrel{(18)}{=}~&\int_{q_{\ast}}^q \!\left. p ~\mathrm{d}q \right|_{\text{fixed } H}\cr ~=~&2H\int_0^{\varphi(q,H)}\! \mathrm{d}\varphi~\cos^2\varphi\cr ~=~&H\left. \{\varphi + \frac{1}{2}\sin 2 \varphi \}\right|_{\varphi=\varphi(q,H)}\cr ~=~&\left. \{ H~{\rm atan2}(q,p) + \frac{1}{2} q p\}\right|_{p=p(q,H)}.\end{align}\tag{28}$$ Die Winkelvariable wird $$\begin{align}2\pi w~\stackrel{(22)}{=}~& 2\pi\frac{\partial W(q,J)}{\partial J}\cr ~\stackrel{(27)}{=}~&\frac{\partial W(q,H)}{\partial H}\cr ~\stackrel{(28)}{=}~& {\rm atan2}(q,p) + \left\{H\frac{1}{1+(q/p)^2} \frac{-q}{p^2}+\frac{q}{2}\right\}\frac{\partial p(q,H)}{\partial H}\cr ~=~&{\rm atan2}(q,p)\cr ~=~&\varphi,\end{align} \tag{29}$$
   wie erwartet.

Verweise:

1. VI Arnold, Mathematische Methoden der Klassischen Mechanik, 1989;$\S$49-50.

2. VI Arnold, VV Kozlov & AI Neishtadt, Mathematische Aspekte der Himmelsmechanik, 2006; Unterabschnitte 5.1.1-2 & 5.2.1.

3. JH Lowenstein, Grundlagen der Hamiltonschen Dynamik, 2012; Abschnitte 3.1-2 & 3.5.

4. M. Taylor, Partielle Differentialgleichungen, Grundlagentheorie, 2011;$\S$16.

5. JV Jose & EJ Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, 1998; Unterabschnitt 6.2.2.

6. A. Fasano & S. Marmi, Analytische Mechanik, 2006; Abschnitte 11.5 + 11.6.

7. NA Lemos, Analytische Mechanik, 2018; Abschnitt 9.7.

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$^1$Gl. (5) beweist die eigentliche Frage von OP in dem Sinne, dass solche Koordinaten existieren.

Es scheint mir, dass sie die Identifizierung vornehmen$F_i = I_i = y_i$bei dem die$y_i$sind diejenigen, die in Theorem 5.3 (Seite 174) diskutiert werden, und wie sie erwähnen, gehen sie davon aus, dass die Hypothesen von Theorem 5.3 gelten. Als Konsequenz sagen sie, dass Hamiltons Gleichungen in Bezug auf alle$F_i$das Formular haben$\dot{\phi}_m=\left\{\phi_m,F_i\right\}= \mathrm{constant}$ebenso gut wie$\dot{y}_m=\left\{y_m,F_i\right\}= \mathrm{constant}$. Vor allem bei der Auswahl$y_s=F_s$, haben wir durch Hypothese$0=\left\{F_m,F_i\right\}=\dot{F}_m$. Der$F_m$sind dann pariweise unabhängige Konstanten in Involution. Daher haben wir$\left\{\phi_m,F_i\right\}= \mathrm{constant}(F_k) \,$.