Detaillierte Herleitung und Erklärung des AKLT-Hamiltonoperators

Lassen Sie mich versuchen, meine eigenen Fragen zu beantworten, um denen zu danken, die ihre Stimme und Unterstützung für die Wiederherstellung dieser Frage gegeben haben. Meine Hauptreferenz ist das Kapitel 3 Grundlegende statistische Quantenmechanik von Spinsystemen des unvollendeten Buches "Modern Statistical Mechanics" von Paul Fendley.

Den Spin-1-Valenz-Bindungs-Festkörper (VBS) in Abb. 2 kann man sich wie folgt vorstellen:

• Jede Spin-1-Stelle besteht aus zwei Spin-1/2 in Triplett-Zuständen (mit s=1)
• Jeder der gedachten Spin-1/2 bildet einen Singulett-Zustand (Valenzbindung) mit einem anderen Spin-1/2 der Nachbarstelle.

Wenn wir uns in diesem Sinne auf zwei benachbarte Spin-1-Stellen konzentrieren, können wir sie uns als 4 Spin-1/2 vorstellen.

Bei 4 Spin-1/2 besteht die einzige Möglichkeit, einen Spin-2 zu bilden, darin, dass zwei Paare Spin-1/2 jeweils zwei Spin-1 bilden, und dann bilden diese beiden Spin-1 einen Spin-2. Wenn irgendein Spin-Paar in diesem 4-Spin-1/2 eine Spin-0-Valenzbindung bildet, dann kann dieses 4-Spin-1/2 keine Spin-2-Einheit mehr bilden, was für den Spin-1-VBS-Zustand der Fall ist . Wenn wir also einen Projektor auf Spin-2 an zwei benachbarten Orten in der Spin-1-VBS anwenden, erhalten wir 0 (vernichtet den Zustand). Folglich vernichtet die Summe solcher Projektoren an jedem Paar benachbarter Orte, was der vorgeschlagene Hamilton-Operator ist, auch den Spin-1-VBS-Zustand. Mit anderen Worten, der Spin-1-VBS-Zustand ist ein Eigenzustand des Hamilton-Operators mit dem Eigenwert 0.

In Anbetracht der Tatsache, dass ein Projektor zwei Eigenwerte 0 und 1 hat und die Summe der Projektoren Eigenwerte gleich oder größer als 0 hat. Ein Eigenwert von 0 bedeutet, dass Spin-1 VBS der Grundzustand des vorgeschlagenen Hamilton-Operators ist.

Beachten Sie, dass ich in meiner Frage dachte$P_2$ist der Projektionsoperator auf Spin-2 für das Spinpaar, aber das ist ein Fehler. Eigentlich die ganze Notation$P_2(\mathbf{S_i} + \mathbf{S_{i+1}})$ist der Projektorbetreiber. Ich persönlich mag diese verwirrende Schreibweise nicht und würde sowas bevorzugen$P_{2}^{\mathbf{S_i}, \mathbf{S_{i+1}}}$oder$P_{2}^{i, i+1}$, aber ich werde verwenden$P_2$kurz im Folgenden.

Jetzt habe ich die ersten 3 meiner Fragen beantwortet. Mein Gefühl ist, dass es eher ein Trick ist, den Hamiltonian zu bekommen. Der Autor könnte sich von früheren Arbeiten mit dem Heisenberg-Modell und dem Majumdar-Ghosh-Modell inspirieren lassen, da beide Hamilton-Operatoren auch als Summe von Projektoren ausgedrückt werden können.

Jetzt kommt die letzte Frage, was herauszufinden$P_2$ist.$P_2$wirkt auf 2 Spin-1-Sites. Die Eigenzustände von$X \equiv (\mathbf{S_i} + \mathbf{S_{i+1}})^2$, nämlich$|0\rangle$,$|1\rangle$,$|2\rangle$, sind auch der Eigenzustand von$P_2$. Der Vollständigkeit halber habe ich die Eigenwerte von aufgelistet$X$und die drei Spinprojektoren in der folgenden Tabelle:

| s | $X$| $P_0$| $P_1$ | $P_2$ |
|----|---|----|----|----|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 0 | 0 | 1 |

Wir können den Projektor als Funktion von ausdrücken$X$damit es die obige Tabelle erfüllt:

$$\begin{align} P_0 &= \frac{1}{12} (X-2)(X-6)\\ P_1 &= -\frac{1}{8} X(X-6)\\ P_2 &= \frac{1}{24} X(X-2) \end{align}$$

Wenn wir ersetzen$X$in der obigen Gleichung mit

$$\begin{align} X &= (\mathbf{S_i} + \mathbf{S_{i+1}})(\mathbf{S_i} + \mathbf{S_{i+1}})\\ &= \mathbf{S_i^2} + \mathbf{S_{i+1}^2} + 2\mathbf{S_i} \cdot \mathbf{S_{i+1}} \\ &= 4 + 2\mathbf{S_i} \cdot\mathbf{S_{i+1}} \end{align}$$

dann bekommen wir

$$P_2 = \frac{1}{6} (\mathbf{S_i} \cdot\mathbf{S_{i+1}})^2 + \frac{1}{2} \mathbf{S_i} \cdot\mathbf{S_{i+1}} + \frac{1}{3}$$