Wie würde Hamiltonoperator für mehrere Fermionen mit Spin aussehen?

Lassen Sie uns der Einfachheit halber über 1D-Partikel sprechen.

Zunächst sollte klar sein, dass der Konfigurationsraum für nicht unterscheidbare Teilchen nicht derselbe ist wie für unterscheidbare. Für zwei unterscheidbare spinlose 1D-Partikel ist der Konfigurationsraum ein Quadrat: eine Seite ist für$x_1$, ein anderer für$x_2$. Aber wenn die Teilchen ununterscheidbar erscheinen, dann ist der halbe Raum überflüssig: Zustände, die durch Austausch von Teilchenkoordinaten erhalten werden, sind identisch. Für zwei spinlose Teilchen ist der Konfigurationsraum also wirklich ein Dreieck:

Hier ist das untere violette Dreieck der Konfigurationsbereich. Nun ist die Schrödinger-Gleichung für zwei nicht unterscheidbare spinlose 1D-Teilchen trivial aus der für unterscheidbare Teilchen zu erhalten: Wir müssen nur Randbedingungen für aufstellen$x_1=x_2$Linie. Für Bosonen muss die Wellenfunktion symmetrisch sein, und dies impliziert homogene Neumann-Bedingungen. Für Fermionen muss die Wellenfunktion antisymmetrisch sein, also hat sie einen Knoten an der Linie der Kollision zwischen den Teilchen, und dies bedeutet homogene Dirichlet-Bedingungen.

Für Fermionen gibt uns dies nun automatisch die richtigen Eigenzustände, die tatsächlich dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen – sie können nur keine Werte ungleich Null haben$x_1=x_2$Linie. Hier sind erstmal einige ¹ :

Wenn wir nun zu unserem vollen (quadratischen) Konfigurationsraum zurückkehren wollen, sollten wir einfach Nullen an fehlende Dreiecke anhängen und dann dieselbe Wellenfunktion, aber mit ausgetauschten Teilchen, davon subtrahieren. Es erscheint automatisch differenzierbar bei$x_1=x_2$Linie:

Lassen Sie uns nun den Spin in unser Bild aufnehmen. Da der Spin ein diskreter Freiheitsgrad mit endlichem Wertebereich ist, können wir für einzelne Teilchen einfach ihre Konfigurationsraumteile verketten, die unterschiedlichen Spinwerten entsprechen. Zum Beispiel ein Spin-$\frac12$Partikel in unendlicher Box im Zustand$\left|1\uparrow\right\rangle+\left|3\downarrow\right\rangle$könnte so aussehen:

Hier entspricht der linke Teil dem Zustand der Spin-up-Komponente der Wellenfunktion und der rechte Teil der Spin-down-Komponente. Beachten Sie, dass der Hamilton-Operator nicht versuchen sollte, die Wellenfunktion am Gelenk zu differenzieren – soweit wir spinabhängige Wechselwirkungen vernachlässigen, sollte seine Matrix nur eine diagonale Blockmatrix zweier spinloser Hamilton-Operatoren sein. Nun ändert sich für zwei nicht unterscheidbare Teilchen nichts, außer dass wir jetzt einen 4-mal größeren vollen Konfigurationsraum (als im Fall ohne Spin) oder einen 2-mal größeren korrekten dreieckförmigen Raum verwenden. So würde der vollständige Konfigurationsraum aussehen:

Hier werden Spinzustände als bezeichnet$\left|s_1\right\rangle\left|s_2\right\rangle$Wo$s_i$ist der Teilchenspin$i$. Kollisionslinien zwischen Teilchen sind durch eine leicht dunkle Farbe gekennzeichnet. Nun der abgeschnittene symmetrisierte Konfigurationsraum:

Das obere linke Rechteck wird nun mit dem unteren rechten zusammengeführt. Wie – das hängt vom Bundesland ab. Beachten Sie auch, dass es immer noch die Möglichkeit einer Kollision zwischen Partikeln gibt – innerhalb dieses unteren rechten Rechtecks ​​–, die wir nicht symmetrisiert haben und tatsächlich nicht tun dürfen (in diesem Fall gibt es keinen Grund dafür).

Nun ist leicht zu erkennen, dass die Zustände mit identischem Spin gezwungen sind, antisymmetrische Orbitale zu haben – ihre orbitalen Teile des Konfigurationsraums sind dreieckig. Die Zustände mit ungleichen Spins können symmetrisch oder antisymmetrisch (oder überhaupt asymmetrisch) sein. Dies entspricht der bekannten Klassifikation von Zwei-Teilchen-Zuständen in Spin-Singlets und Spin-Tripletts . Wenn man sich nur die Wellenfunktion ansieht, könnte man sofort sagen, welche Art von Zustand wir haben: Triplettzustände haben einen Knoten entlang der Kollisionslinie zwischen den Teilchen – das bedeutet, dass das Orbital antisymmetrisch ist.

Schauen wir uns nun zunächst einige Zustände an:

Hier sehen wir: Spin-Singlet-Zustände – Zahlen 1,2,6 und Tripletts – Zahlen 3,4,5.

Für mehr als zwei Teilchen scheint es ziemlich einfach zu verallgemeinern: Man schneide einfach den Konfigurationsraum ab, so dass es nicht länger möglich ist, Teilchen auszutauschen, und erlege den Hyperflächen, die nach diesen Schnitten erscheinen, die richtigen Randbedingungen. Für viele Partikel kann dies sogar zu einigen Einsparungen bei den Rechenressourcen führen: Das Hypervolumen des Konfigurationsraums würde sich um verringern$n!$Wo$n$ist die Anzahl der Teilchen im Vergleich zum Raum für unterscheidbare Teilchen.

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_{1: Ich habe eine vereinfachte Methode zur Berechnung dieser Zustände verwendet, indem ich einfach eine sehr große Potentialbarriere in das obere linke Dreieck gesetzt habe. Um verschiedene Spinanteile von Wellenfunktionen zu entkoppeln habe ich auch dünne Barrieren hinzugefügt. Bei realen Berechnungen sollte man natürlich die Gelegenheit nutzen, zusätzliche Daten aus der Verarbeitung zu entfernen und die Hamilton-Matrix genauer zu definieren.}