Elektronen, Spins und Entartung

Wenn es zwei Zustände mit derselben Energie gibt, können diese beiden Zustände immer noch zwei Elektronen aufnehmen. Das Pauli-Ausschlussprinzip besagt, dass zwei Fermionen nicht im selben Zustand sein können. Wenn sich die Zustände jedoch um eine Quantenzahl unterscheiden, sind sie immer noch unterscheidbar.

Wenn Sie Ihr Beispiel nehmen, können zwei Elektronen dasselbe haben$n, l, m$in einem Atom, aber eines mit Spin-up und ein anderes mit Spin-down. Aber selbst wenn es keine Energieaufspaltung gab, sind sie nicht im selben Zustand, da sie einen unterschiedlichen Drehimpuls haben; die Zustände sind im Prinzip verschieden.

Dies spiegelt die (richtige) Antwort von JeffDror wider, enthält jedoch auch einige Mathematik / Notationen, die dazu beitragen könnten, die Dinge weiter zu beleuchten.

Betrachten wir im Wesentlichen Ihr Beispiel. Lassen$H$bezeichnen den Hamilton-Operator für ein einzelnes Elektron in einem zentralen Potential (wie wenn es sich um einen Kern bewegt). Dann wird der Zustandsraum (Hilbert-Raum) des Systems von Energie-Eigenzuständen aufgespannt

$$\begin{align} |n,\ell,m,m_s\rangle \end{align}$$ Wo $m_s$ist der $z$-Komponente der Spinquantenzahl. Beachten Sie, dass die Energie jedes dieser Zustände vollständig durch die Hauptquantenzahl bestimmt wird $n$, also gibt es viel Entartung im Spektrum. Mathematisch wann $H$auf jeden dieser Zustände wirkt, ergibt es einen Wert $E_n$das hängt nur davon ab $n$; $$\begin{align} H|n,\ell,m,m_s\rangle = E_n|n,\ell,m,m_s\rangle. \end{align}$$ Insbesondere ein Spin-up-Elektron, mit $m_s = +1$, hat die gleiche Energie wie ein Spin-Down-Elektron mit $m_s=-1$; $$\begin{align} H|n,\ell,m,+1\rangle &= E_n|n,\ell,m,+1\rangle \\ H|n,\ell,m,-1\rangle &= E_n|n,\ell,m,-1\rangle \\ \end{align}$$ Es gibt eine zweifache Spin-Entartung der Energieniveaus; unterschiedliche Spins verursachen keine Energieaufspaltung. Anders wäre es beispielsweise, wenn ein externes Magnetfeld mit dem magnetischen Moment des Elektrons wechselwirken würde.

Betrachten Sie nun ein System aus zwei nicht wechselwirkenden Elektronen im Zentralpotential. Der Zustandsraum dieses Systems wird von (Tensor-)Produktzuständen aufgespannt, die den individuellen Zustand jedes Elektrons spezifizieren;

$$\begin{align} |n_1,\ell_1,m_1,m_{s,1}\rangle|n_2,\ell_2,m_2,m_{s,2}\rangle \end{align}$$ Lassen Sie uns der Einfachheit halber die Bahndrehimpuls-Quantenzahlen in der Notation vorerst unterdrücken, sodass ein solcher Zustand geschrieben würde als $$\begin{align} |n_1, m_{s,1}\rangle|n_2, m_{s,2}\rangle. \end{align}$$ Lassen $H_2$den Hamiltonian dieses Systems bezeichnen, dann ist die Energie eines solchen Zustands gegeben durch die Summe der Energien der einzelnen Zustände; $$\begin{align} H_2|n_1, m_{s,1}\rangle|n_2, m_{s,2}\rangle = (E_{n_1}+E_{n_2})|n_1, m_{s,1}\rangle|n_2, m_{s,2}\rangle \end{align}$$ Zustände dieser Form sind in diesem System jedoch nicht erlaubt, weil Elektronen Fermionen sind, und das Pauli-Ausschlussprinzip sagt uns, dass für ein solches System nur solche Zustände erlaubt sind, die in den Quantenzahlen der Elektronen antisymmetrisch sind. Das bedeutet, wenn wir einen Zwei-Elektronen-Zustand schreiben und die Faktoren in jedem auftretenden Produktzustand vertauschen, dann sollte die Gesamtwirkung auf den Zustand sein, dass er multipliziert wird $-1$. Betrachten Sie als Beispiel den folgenden Zustand: $$\begin{align} |2,+1\rangle|2,-1\rangle. \end{align}$$ Ist dieser Zustand erlaubt? Nun, weil wir, wenn wir die Faktoren umdrehen, kein Negativ desselben Zustands zurückbekommen; $$\begin{align} |2,+1\rangle|2,-1\rangle \neq |2,-1\rangle|2,+1\rangle. \end{align}$$ Aber wir können das beheben. Betrachten Sie stattdessen den folgenden Zustand: $$\begin{align} |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}\Big(|2,+1\rangle|2,-1\rangle - |2,-1\rangle|2,+1\rangle\Big) \end{align}$$ Beachten Sie, was passiert, wenn wir alle Terme in diesem Zustand umdrehen; $$\begin{align} \mathrm{Flip}(|\psi\rangle) &= \frac{1}{\sqrt 2}\Big(|2,-1\rangle|2,+1\rangle - |2,+1\rangle|2,-1\rangle\Big)\\ &= -\frac{1}{\sqrt 2}\Big(|2,+1\rangle|2,-1\rangle - |2,-1\rangle|2,+1\rangle\Big) \\ &= -|\psi\rangle \end{align}$$ Dieser Zustand funktioniert! Wenn wir die Quantenzahlen der beiden Teilchen vertauschen, ändert sich der Zustand um ein negatives Vorzeichen. Dieser Zustand hat eigentlich einen besonderen Namen; Man beachte, dass die beiden Faktoren in jedem Produktzustand immer ein Elektron mit Spin up und das andere Elektron mit Spin down haben. Diese Antisymmetrieeigenschaft kann nicht durch einen Zustand erfüllt werden, in dem die Elektronen den Spin haben Gleiche Drehung, weil das Umdrehen nur den gleichen Zustand ohne das Minuszeichen wieder zurückgeben würde!

Also das Ergebnis ist folgendes:

Unabhängig von der Form des Hamiltonoperators und insbesondere davon, ob unterschiedliche Spinzustände zu unterschiedlichen Energien führen oder nicht, werden die zulässigen Zustände von Elektronen durch Symmetrieeigenschaften ihrer Zustände bestimmt.