Fermionen im gleichen Zustand

Tolle Frage, die einige wirklich verwirrende Terminologie aufdeckt. Dies ist eine ziemlich lange Antwort, und die Pointe befindet sich im Grunde im vorletzten Absatz, aber ich denke (hoffe), es lohnt sich, die gesamte Antwort zu lesen, da ich versucht habe, eine einigermaßen systematische Beschreibung der fermionischen Zustände unter Verwendung eines bestimmten zu geben, einfaches Beispiel auf dem Weg.

Lassen Sie uns zunächst die Dirac-Notation verwenden; das macht die sache meiner meinung nach etwas klarer. Beschränken wir die anfängliche Diskussion auch auf die Spinzustände zweier Spin-$1/2$Teilchen (die daher Fermionen sind), sodass der Hilbert-Raum für den Zustand jedes Teilchens zweidimensional ist.

Der Hilbertraum$\mathcal H_{1/2}$für einen einzigen Spin-$1/2$Partikel wird von den Vektoren aufgespannt$|+\rangle, |-\rangle$entsprechend dem Spin, der "oben" bzw. "unten" ist. Der Hilbert-Raum für das zusammengesetzte System zweier unterscheidbarer Spins$1/2$Teilchen ist das Tensorprodukt$\mathcal H=\mathcal H_{1/2}\otimes\mathcal H_{1/2}$des einzelnen Spins$1/2$Hilbertraum mit sich selbst. Dieser Hilbert-Raum ist vierdimensional und wird von den vier Zuständen aufgespannt

$$\begin{align} |+\rangle|+\rangle, \qquad |+\rangle|-\rangle, \qquad |-\rangle|+\rangle,\qquad |-\rangle|-\rangle \end{align}$$ Jeder Zustand des Systems ist eine lineare Kombination dieser vier. Nehmen wir nun stattdessen an, dass die Spins identisch sind, dann stellt sich heraus, dass der physikalische Hilbert-Raum des Systems nicht mehr das Tensorprodukt ist; es ist ein Unterraum des Tensorprodukts, der als "antisymmetrischer Unterraum" bezeichnet wird und wie folgt definiert ist. Wir definieren den Börsenbetreiber $P$An $\mathcal H$als eindeutiger linearer Operator mit der folgenden Wirkung auf jeden Tensorprodukt-Basiszustand $$\begin{align} P|i\rangle|j\rangle = |j\rangle|i\rangle \end{align}$$ Mit anderen Worten, der Austauschbetreiber tauscht nur die beiden Faktoren eines beliebigen Produktzustands aus. Wir sagen, dass ein Staat $|\psi\rangle$im Tensorproduktraum ist antisymmetrisch vorgesehen $$\begin{align} P|\psi\rangle = -|\psi\rangle \end{align}$$ Der antisymmetrische Unterraum von $\mathcal H$ist dann definiert als die Menge aller Vektoren, die antisymmetrisch sind. Wir haben dann folgende physikalische Tatsache:

Für ein System, das aus zwei identischen Fermionen besteht, muss der Zustand des Systems im antisymmetrischen Unterraum des Tensorprodukts der Einteilchen-Hilbert-Räume liegen.

Gehen wir nun zurück zum Spin-Beispiel, um zu sehen, was das konkret bedeutet. Ein willkürlicher Zustand$|\psi\rangle$der beiden spinnen$1/2$System kann geschrieben werden als

$$\begin{align} |\psi\rangle = c_{++}|+\rangle|+\rangle + c_{+-}|+\rangle|-\rangle + c_{-+}|-\rangle|+\rangle + c_{--}|-\rangle|-\rangle \end{align}$$ Der nach diesem Zustand handelnde Tauschoperator gibt $$\begin{align} P|\psi\rangle = c_{++}|+\rangle|+\rangle + c_{+-}|-\rangle|+\rangle + c_{-+}|+\rangle|-\rangle + c_{--}|-\rangle|-\rangle \end{align}$$ aber für identische Fermionen muss der Zustand antisymmetrisch sein, und dies impliziert Einschränkungen für die Koeffizienten $$\begin{align} c_{++} = 0, \qquad c_{--} = 0, \qquad c_{-+} = -c_{+-} \end{align}$$ so ist der allgemeinste (normalisierte) fermionische Zustand für das System $$\begin{align} |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle|-\rangle - |-\rangle|+\rangle) \end{align}$$ Wenn wir sagen, dass die Teilchen nicht denselben Zustand einnehmen können, ist dies nur eine andere Art, in diesem Fall darauf hinzuweisen, dass die Koeffizienten der Zustände $|+\rangle|+\rangle$Und $|-\rangle|-\rangle$muss verschwinden; dies sind Zustände, in denen entweder beide Spins "oben" oder beide "unten" sind.

Insbesondere sagst du

aber es ist immer noch nur ein Zustand – besetzt von zwei Fermionen.

Nun, das ist sicherlich wahr, da der (reine) Zustand eines jeden quantenmechanischen Systems ein Vektor in einem Hilbert-Raum sein muss. Das obige Beispiel zeigt jedoch, dass die Terminologie des "gleichen Zustands" in Bezug auf die beiden Tensorfaktoren im Hilbert-Raum gedacht werden kann; nämlich die Produktbasisvektoren, bei denen die Einteilchenzustände beider Teilchen gleich sind, sollten aus dem Hilbert-Raum ausgeschlossen werden.

Anmerkung: Ich habe mich auf niederdimensionale Beispiele konzentriert, die Analyse verläuft analog für Hilbert-Räume beliebiger Dimension; der fermionische Zustand sind immer nur diejenigen im antisymmetrischen Unterraum, daher sollten alle Produktbasisvektoren, in denen beide Faktoren gleich sind, von der Hilbert-Raumbasis ausgeschlossen werden; solche Vektoren leben nicht im antisymmetrischen Unterraum.

Die Idee ist eigentlich einfach. Die meisten Bücher verwenden jedoch normalerweise schlampige Begriffe oder sie haben keine explizite Diskussion zu diesem Thema gegeben, sodass die Schüler normalerweise verwirrt sind. Der richtige Satz sollte lauten:

Einzelne Fermionen in einem System können nicht dieselbe einzelne Teilchenwellenfunktion haben

Es ist klar, dass das ganze System selbst immer durch eine totale Wellenfunktion beschrieben wird$\Psi$. Wenn die Teilchen jedoch nicht interagieren , können wir jede einzelne Teilchenwellenfunktion lösen$\psi$getrennt und konstruieren die Gesamtwellenfunktion als:

$$\Psi(r_1,r_2,...,r_n) \propto \prod_{\sigma_i} \sigma_i \psi(r_i)$$

Wo$\sigma_i$sind alle möglichen Vorzeichenpermutationen für Fermion und Boson. Die Symmetrisierung und Antisymmetrisierung ist das direkte Ergebnis der Ununterscheidbarkeit von Teilchen.

Warum diskutieren wir normalerweise über die Einzelteilchen-Wellenfunktion?$\psi$eher als die totale Wellenfunktion$\Psi$? Es ist zwar möglich, die gesamte Wellenfunktion zu messen, aber jedes einzelne Teilchen ist tatsächlich das kleinste messbare Teilsystem (entspricht Teilspur). Wenn wir jedes Teilchen separat behandeln, treten interessante Phänomene wie Verschränkung auf.